Pravděpodobnostní metody fyziky - NOFY062

• Anglický název: Probabilistic Methods in Physics
• Zajišťuje: Kabinet výuky obecné fyziky (32-KVOF)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2019
• Semestr: letní
• E-Kredity: 4
• Rozsah, examinace: letní s.:2/1, Z+Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: čeština
• Způsob výuky: prezenční
• Způsob výuky: prezenční
• Garant: prof. RNDr. Petr Chvosta, CSc.; prof. RNDr. Ivan Ošťádal, CSc.

Anotace

čeština

Poslední úprava: T_KVOF (20.05.2005)

Přednáška poskytuje základy pravděpodobnostního modelování ve formě vhodné pro aplikace ve fyzice. Na fyzikálně motivovaných příkladech se diskutuje role pravděpodobnosti při popisu stavu fyzikálního systému. Rozvíjí se pojem stochastické funkce, řeší se základní typy stochastických diferenciálních rovnic. Jsou vyloženy fyzikálně důležité příklady Markovových řetězců, renovační procesy, procesy větvení. Přednášku uzavírá analýza Brownova pohybu.

angličtina

Poslední úprava: prof. RNDr. Petr Chvosta, CSc. (19.05.2005)

The lecture starts with an accesible introductory formulation of the probability theory as suited for the students of physics. New consepts are demonstrated on a selected set of examples from physics. Subsequently, advanced physical problems are treated using Markov chains (Ehrenfest model, branching process), continuous-time Markov processes (Poisson process, random walks, dichotomic process), Markov processes with continuous realizations (Wiener process, Ornstein-Uhlenbeck process), point processes and renewal processes, Langevin Equation and Fokker-Planck Equation, Brownian motion, path-integral description of stochastic processes.

Cíl předmětu

čeština

Poslední úprava: prof. RNDr. Petr Chvosta, CSc. (11.06.2019)

Přednáška poskytuje základy pravděpodobnostního modelování ve formě vhodné pro aplikace ve fyzice. Na fyzikálně motivovaných příkladech se diskutuje role pravděpodobnosti při popisu stavu fyzikálního systému. Rozvíjí se pojem stochastické funkce, řeší se základní typy stochastických diferenciálních rovnic. Jsou vyloženy fyzikálně důležité příklady Markovových řetězců, renovační procesy, procesy větvení. Následují dynamické modely ve spojitém čase, základy chemické kinetiky, rychlostní rovnice. Přednášku uzavírá teorie analýza Brownova pohybu a úvod do teorie difúze. U každého jednotlivého modelu je vyloženo jednak analytické řešení příslušných pohybových rovnic a jednak odpovídající algoritmy počítačové simulace.

Jedním z cílů je kultivace pravděpodobnostního myšlení.

angličtina

Poslední úprava: T_KVOF (28.03.2008)

The lecture starts with an accesible introductory formulation of the probability theory as suited for the students of

physics. New consepts are demonstrated on a selected set of examples from physics. Subsequently, advanced physical

problems are treated using Markov chains (Ehrenfest model, branching process), continuous-time Markov processes

(Poisson process, random walks, dichotomic process), Markov processes with continuous realizations (Wiener process,

Ornstein-Uhlenbeck process), point processes and renewal processes, Langevin Equation and Fokker-Planck Equation,

Brownian motion, path-integral description of stochastic processes.

Podmínky zakončení předmětu

Poslední úprava: prof. RNDr. Petr Chvosta, CSc. (11.06.2019)

Předmět je zakončen zápočtem a ústní zkouškou.

Podmínky pro udělení zápočtu: účast převyšující 70% a vypracování projektu. V rámci projektu je požadována krátká studie, jejímž cíle je srovnání analytického a simulačního přístupu k vybranému jednomu pravděpodobnostnímu modelu.

Výchozí seznam modelů, které připadají v úvahu, bude specifikován v průběhu přednášky.

Získání zápočtu je podmínkou připuštění k ústní zkoušce. Zkouška spočívá v rozpravě o dvou zvolených širších tématech ze sylabu.

Literatura

Poslední úprava: prof. RNDr. Petr Chvosta, CSc. (19.05.2005)

van Kampen, N. G.: Stochastic Processes in Physics and Chemistry. Revised and Enlarged Edition, North-Holland, Amsterdam, (1992).

Gardiner, C. W.: Handbook of Stochastic Methods for Physics, Chemistry and the Natural Sciences, Springer, Berlin (1991). Second edition.

Risken, H.: The Fokker-Planck Equation, Springer, Berlin (1989).

Feller, W.: An Introduction to Probability Theory and Its Applications.,

Vol. 1., Third edition, Wiley, New York, 1968. Vol. 2., Second edition, Wiley, New York, 1971.

Metody výuky

Poslední úprava: T_KVOF (28.03.2008)

přednáška + cvičení

Požadavky ke zkoušce

Poslední úprava: prof. RNDr. Petr Chvosta, CSc. (11.06.2019)

Zkouška je ústní, spočívá v rozpravě o dvou zvolených tématech ze sylabu. Po volbě dvou témat se student samostatně připravuje k rozpravě. Poté následuje jeho expozé a diskuze. Zkouška trvá zpravidla okolo 30 minut.

Důraz je kladen na celkové pochopení látky, nikoliv na detailní matematické zpracování jednotlivých pravděpodobnostních modelů.

Sylabus

čeština

Poslední úprava: prof. RNDr. Petr Chvosta, CSc. (19.05.2005)

1. Pravděpodobnost a náhodná proměnná

Historie teorie pravděpodobnosti. Pojem pravděpodobnosti. Paradoxy a paradigmata. Informační entropie. Strategie pravděpodobnostního popisu přírodních procesů. Ergodicita. Náhodné proměnné a jejich systémy. Korelace, limitní teorémy.

2. Stochastické procesy

Náhodné (stochastické) funkce. Diskrétní Markovovy řetězce (Ehrenfestův model, větvící se procesy). Markovovské procesy se spojitým časem (Poissonův proces, alternující procesy). Procesy se spojitými realizacemi (Wienerův proces, Ornstein-Uhlenbeckův proces). Bílé šumy. Systémy náhodných bodů a procesy obnovy. Levyho procesy.

3. Teorie difúze

Stochastické diferenciální rovnice. Aditivní a multiplikativní šum. Náhodná bloudění a Brownův pohyb: Einsteinův versus Langevinův přístup. Fokker-Planckova rovnice. Úloha o prvním dosažení oblasti. Difúze ve vnějším poli, v systémech s pastmi, v nehomogenním prostředí. Termální aktivace. Propagátor jako funkcionální integrál. Počítačová simulace stochastických procesů.

4. Vybrané stochastické modely ve fyzice

Statické a dynamické neuspořádání. Stochastická Schrödingerova (Liouvilleova) rovnice. Rozšíření spektrálních čar. Harmonický oscilátor s modulovanou frekvencí. Stochastická resonance. Molekulární motory. Koherence světla, rovnice laseru. Šumem indukované fázové přechody. Teorie perkolací. Modely růstových procesů.

5. Vybrané aplikace mimo fyziku

Evoluce populací, Verhulstův model. Genetické modely. Rychlostní rovnice reakcí. Modelovaní systémů obsluhy. Formování názoru. Šíření chorob. Hazardní hry.

angličtina

Poslední úprava: prof. RNDr. Petr Chvosta, CSc. (19.05.2005)

1. Probability and Random Variables

Probability paradigms and paradoxes. Random variables. Their role in physics. Distribution function, characteristic function. Bernoulli, Gauss and Poisson distributions, other examples. Two random variables, joint and conditional distribution, correlations. Sequences of random variables. Limit theorems. Lévy distributions. Information entropy.

2. Stochastic Processes

Discrete-time Markov chains (random walks, Ehrenfest model, branching process). Continuous-time Markov processes (Pauli master equation, Poisson process, dichotomic process, continuous-time random walks). Markov processes with continuous realizations (Wiener process, Ornstein-Uhlenbeck process). Point processes and renewal processes. Shot noises. Stationary processes, their spectra. Self-averaging. Stochastic differential equations, multiplicative and additive noise. Noise-induced transitions.

3. Diffusion Theory

Thermal noise, Brownian motion. Langevin Equation and Fokker-Planck Equation. Biased diffusion. Boundaries. Dwelling time and first passage time. Methods of solution (Laplace transform, eigenfunction expansion, propagators, path integrals). Diffusion vs. trapping. Kramers equation. Fractal diffusion. Dichotomic diffusion, telegrapher's equation. Extremal properties of trajectories. Physics of random polymer chains.

4. Selected Applications in Physics

Static (quenched) and dynamical disorder. Stochastic Schroedinger (Liouville) equation, optical Bloch equation, absorption. Harmonic oscillator with randomly modulated frequency, motional narrowing. Laser equation. Statistical properties of light. Percolation. Stochasticity versus chaotic behaviour of deterministic systems. Random-growth models. Molecular motors. Stochastic resonance.

5. Selected Applications in Other Fields

Growth of populations (predator-prey systems, Verhulst model). Genetic models. Chemical systems (diffusion-controled reactions, coagulation). Migration of population. Spreading of diseases. Queueing models (systems of service). Hazardous plays. Assurance models.

Vstupní požadavky

Poslední úprava: prof. RNDr. Petr Chvosta, CSc. (11.06.2019)

Elementární partie kombinatoriky a teorie pravděpodobnosti. Množina elementárních jevů a její podmnožiny. Základní operace jako sčítání a násobení pravděpodobností. Příklady motivované karetními hrami, hracími kostkami, ruletou.