Poslední úprava: doc. RNDr. Václav Kučera, Ph.D. (15.01.2019)
Přednáška se zabývá odhady chyby v přibližném numerickém řešení parciálních diferenciálních rovnic. Důraz je kladen na zaručené a plně spočítatelné odhady. Je představen jednotný rámec zahrnující klasické numerické
metody (FEM, DGFEM,...). Teorie je odvozena pro řadu praktických problémů. Zdůrazněno je využití odhadů pro efektivní numerické výpočty (adaptivní zjemňování sítě, adaptivní volba časového kroku, včasné zastavení
lineárních a nelineárních řešičů).
Poslední úprava: T_KNM (27.04.2015)
The course treats estimates of the error in approximate numerical solution of partial
differential equations. The impact is on guaranteed and fully computable estimates. A unified framework for
classical
numerical methods (FEM, DGFEM,...) is introduced. The theory is developed for a large variety of problems. The
emphasis is on the use of the estimates for efficient numerical calculation (adaptive mesh
refinement, adaptive choice of the time step, stopping criteria for linear and nonlinear
solvers).
Cíl předmětu -
Poslední úprava: RNDr. Miloslav Vlasák, Ph.D. (12.02.2018)
Přednáška odvozuje plně spočítatelné odhady chyby v numerickém řešení parciálních
diferenciálních rovnic pomocí metody vyvážených toků.
Poslední úprava: T_KNM (02.04.2015)
The course derives fully computable estimates on the error in numerical solution of partial differential equations via the method of equilibrated fluxes.
Podmínky zakončení předmětu -
Poslední úprava: prof. Ing. Martin Vohralík, Ph.D. (11.06.2019)
Písemná zkouška
Poslední úprava: prof. Ing. Martin Vohralík, Ph.D. (11.06.2019)
Written examination
Literatura
Poslední úprava: T_KNM (02.04.2015)
Vohralík, M., A posteriori error estimates for efficiency and error control in numerical simulations, skripta.
Ainsworth, M., Oden, J.T., A posteriori error estimation in finite element analysis. Wiley-Interscience, New York, 2000.
Repin, S.I., A posteriori estimates for partial differential equations. Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin, 2008.
Verfürth, R., A posteriori error estimation techniques for finite element methods. Oxford University Press, Oxford, 2013.
Požadavky ke zkoušce -
Poslední úprava: prof. Ing. Martin Vohralík, Ph.D. (11.06.2019)
Studenti budou zkoušeni pomocí psaného testu sestávajícího z otázek probraných na přednáškách.
Poslední úprava: prof. Ing. Martin Vohralík, Ph.D. (11.06.2019)
Students will be examined by written test with questions corresponding to the material addressed at the lectures.
Sylabus -
Poslední úprava: doc. RNDr. Václav Kučera, Ph.D. (15.01.2019)
Základní vlastnosti aposteriorního odhadu: zaručený odhad, lokální efektivita, asymptotická přesnost, robustnost zhledem k parametrům, nízká výpočetní náročnost, rozlišení složek celkové chyby.
Matematický rámec: spojitost potenciálu a spojitost normálové složky toku (prostory H1 a H(div)), primární a duální variační formulace, Greenova věta, Pragerova a Syngeova věta, Poincarého a Friedrichsova nerovnost, reziduál parciální diferenciální nerovnice, energetická norma a duální normy.
Konstrukce a vlastnosti odhadů: rekonstrukce potenciálu, rekonstrukce toku, ekvilibrace pomocí smíšené metody konečných prvků, ekvivalence s chybou.
Teorie pro modelové problémy: Laplaceova rovnice, rovnice advekce-reakce-difúze, Stokesova rovnice, nestacionární rovnice vedení tepla, nelineární Laplaceova rovnice.
Aplikace na základní numerické metody: metoda konečných prvků, nekonformní metoda konečných prvků, smíšená metoda konečných prvků, nespojitá Galerkinova metoda, metoda konečných objemů.
Použití odhadů: adaptivní zjemňování prostorových sítí, adaptivní zjemňování časového kroku, zastavovací kritéria pro lineární řešiče, zastavovací kritéria pro nelineární řešiče.
Poslední úprava: doc. RNDr. Václav Kučera, Ph.D. (19.12.2018)
Basic properties of an a posteriori estimate: guaranteed upper bound, local efficiency, asymptotic exactness, robustness with respect to parameters, low evaluation cost, distinction of error components.
Mathematical framework: continuity of the potential and continuity of the normal trace of the flux: the spaces H1 and H(div), primal and dual variational formulations, Green theorem, Prager and Synge theorem, Poincaré-Friedrichs-Wirtinger inequalities, residual of a partial differential equation, energy norm and dual norms.
Construction and evaluation of the estimators: potential reconstruction, flux reconstruction, equilibration using the mixed finite element method, equivalence with the error.
Theory for model problems: Laplace equation, the advection-diffusion-reaction equation, the Stokes equation, the unsteady heat equation, the nonlinear Laplace equation.
Application to classical numerical methods: conforming finite element method, nonconforming finite element method, mixed finite element method, discontinuous Galerkin method, finite volume method.
Use of the estimates: adaptation of spatial meshes, adaptation of the time step, stopping criteria for linear solvers, stopping criteria for nonlinear solvers.
Vstupní požadavky -
Poslední úprava: prof. Ing. Martin Vohralík, Ph.D. (17.05.2019)
Teorie lineárních eliptických parciálních diferenciálních rovnic druhého
řádu, základy funkcionální analýzy a metody konečných prvků.
Poslední úprava: prof. Ing. Martin Vohralík, Ph.D. (17.05.2019)
Theory of the linear elliptic partial differential equations of second
order, basics of the functional analysis, and finite element method.
