Úvod do teorie interpolací 2 - NMMA534

• Anglický název: Introduction to Interpolation Theory 2
• Zajišťuje: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2023
• Semestr: letní
• E-Kredity: 4
• Rozsah, examinace: letní s.:2/0, Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: nevyučován
• Jazyk výuky: čeština, angličtina
• Způsob výuky: prezenční
• Způsob výuky: prezenční
• Třída: M Mgr. MA; M Mgr. MA > Povinně volitelné
• Kategorizace předmětu: Matematika > Funkční analýza, Reálná a komplexní analýza
• Neslučitelnost : NRFA076
• Záměnnost : NRFA076
• Je záměnnost pro: NRFA076

Anotace

čeština

Poslední úprava: T_KMA (02.05.2013)

Pokročilejší partie moderní reálné teorie interpolací. Povinně volitelná přednáška pro magisterský obor Matematická analýza.

angličtina

Poslední úprava: T_KMA (02.05.2013)

Advanced topics from the interpolation theory. Recommended for master students of mathematical analysis.

Podmínky zakončení předmětu

čeština

Poslední úprava: prof. RNDr. Luboš Pick, CSc., DSc. (22.07.2018)

Ústní zkouška z předem známých vybraných pasáží z přednášky.

angličtina

Poslední úprava: prof. RNDr. Luboš Pick, CSc., DSc. (22.07.2018)

Oral exam on a-priori known parts of the course.

Literatura

čeština

Poslední úprava: prof. RNDr. Luboš Pick, CSc., DSc. (22.07.2018)

R.A. Adams, Sobolev Spaces,Academic Press, New York, 1975.

C. Bennett, R. Sharpley: Interpolation of Operators, Academic Press, Princeton, 1988.

J. Bergh, J. Löfström: Interpolation Spaces, Springer, Berlin, 1976.

L. Pick, A. Kufner, O. John and S. Fučík: Function Spaces I, De Gruyter, Berlin, 2012.

Sylabus

čeština

Poslední úprava: T_KMA (19.09.2013)

1. Úvod do interpolačního principu

Youngovy funkce a Orliczovy prostory, Lebesgueovy prostory, věty o vnoření, Minkowského a Hölderova nerovnost, interpolační princip vnoření Lebesgueových prostorů

2. Klasické interpolační věty: Rieszova-Thorinova věta o konvexitě

Rieszova-Thorinova věta o konvexitě, operátor silného typu, Rieszova věta o konvexitě pro pozitivní operátory, Hadamardova věta o třech přímkách, Rieszova-Thorinova věta, Hausdorffova-Youngova nerovnost, omezenost konvolučních operátorů na Lebesgueových prostorech, Hardyho nerovnost, interpolační čtverec

3. Klasické interpolační věty: Yanova extrapolační věta

Operátor integrálního průměru, Yanova extrapolační věta

4. Klasické interpolační věty: Marcinkiewiczova věta

Nerostoucí přerovnání, Lorentzovy prostory, vnoření mezi nimi, Hölderova nerovnost, Hardyův-Littlewoodův princip, slabý typ operátoru, Marcinkiewiczova věta, Hardyův-Littlewoodův maximální operátor, Rieszův potenciál, Hilbertova transformace, singulární integrální operátory

5. Operátory sdruženého typu

Calderónův operátor, Herzova nerovnost, O´Neilova nerovnost, Calderónův operátor, operátor sdruženého typu, interpolace operátorů sdruženého typu, Lorentzovy-Zygmundovy prostory

6. Abstraktní teorie interpolací

Kategorie a funktory, kompatibilní pár, suma a průnik kompatibilních prostorů, interpolační prostor, Aronszajnova-Gagliardova věta

7. Reálná metoda interpolace

Peetreův K-funkcionál, Gagliardovo zúplnění, Holmstedtovy formule, věta o reiteraci, J-funkcionál, výpočet K-funkcionálu pro konkrétní dvojice prostorů

8. Interpolace komkpaktních operátorů

Interpolace kompaktních operátorů na Lebesgueových prostorech, Cwikelova věta

9. Optimální vnoření Sobolevových prostorů

Prostor s normou invariantní vůči nerostoucímu přerovnání, Pólyova-Szegöova nerovnost, Sobolevův prostor, Sobolevovo vnoření, konstrukce optimálního cílového prostoru pro Sobolevovov vnoření.

angličtina

Poslední úprava: prof. RNDr. Luboš Pick, CSc., DSc. (22.07.2018)

1. Introduction to the interpolation principle

Young functions, Orlicz spaces, Lebesgue spaces, embedding theorems, Minkowski inequality, Hölder inequality, interpolation inequalities in Sobolev embeddings

2. Classical interpolation theorems: Riesz-Thorin convexity theorem

Riesz-Thorin convexity theorem, operator pf strong type, Riesz convexity theorem for positive operators, Hadamard three lines theorem, Riesz-Thorin theorem, Hausdorff-Young inequaity, boundedness of convolution operators on Lebesgue spaces, Hardy inequality, interpolation square

3. Classical interpolation theorems: Yano extrapolation theorem

Integral mean operator, Yano theorem

4. Classical interpolation theorems: Marcinkiewicz theorem

Nonincreasing rearrangement, Lorentz spaces, embeddings, Hölder inequality, Hardy-Littlewood--Pólya principle, operator of weak type, Marcinkiewicz theorem, Hardy-Littlewood maximal operator, Riesz potential, Hilbertov transform, singular integral operators

5. Joint-typeoperators

Calderón operator, Herz inequality, O´Neil inequality, Calderón operator, operator of joint weak type, interpolation of such operators, Lorentz-Zygmund spaces

6. Abstract interpolation theory

Categories and functors, compatible couple, sum and intersection, interpolation space, Aronszajn-Gagliardo theorem

7. Real method of interpolation

Peetre K-functional, Gagliardo completion, Holmstedt formulae, reiteration theorem, J-functional, examples of K-functionals for certain pairs of spaces

8. Interpolation of compact operators

Compact operators on Lebesgue spaces, Cwikel theorem

9. Optimal Sobolev embeddings

Rerrangement-invariant space, Pólya-Szegö inequality, Sobolev space, Sobolev embedding, optimal range construction.

Vstupní požadavky

čeština

Poslední úprava: prof. RNDr. Luboš Pick, CSc., DSc. (22.07.2018)

Základy teorie míry.

angličtina

Poslední úprava: prof. RNDr. Luboš Pick, CSc., DSc. (22.07.2018)

Basic knowledge in measure theory.