Poslední úprava: doc. RNDr. Pavel Pyrih, CSc. (12.05.2022)
Povinný předmět magisterského programu Matematická analýza částečně
navazující na předmět NMMA401. Doporučen pro první ročník magisterského
studia. Obsahuje pokročilá témata z funkcionální analýzy - spektrální
teorie v Banachových algebrách, Gelfandova transformace, spektrální teorie
omezených a neomezených operátorů.
Poslední úprava: doc. RNDr. Pavel Pyrih, CSc. (12.05.2022)
Mandatory course for the master study programme Mathematical
analysis. Recommended for the first year of master studies. Continuation
of the course NMMA401. Devoted to advanced topics in functional analysis -
spectral theory in Banach algebras, Gelfand transform, spectral theory of
bounded and unbounded operators.
Podmínky zakončení předmětu -
Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (05.02.2024)
Pravidla pro akademický rok 2023/2024:
Předmět je zakončen zápočtem a zkouškou. Předchozí získání zápočtu je nutnou podmínkou pro skládání zkoušky.
Zápočet bude udělen za úplné a správné vyřešení dvou domácích úkolů a za předvedení správného řešení dohodnutého příkladu na cvičení.
V případě, že odevzdané řešení domácího úkolu nebude úplné a správné, je třeba odevzdat opravu, přičemž počet iterací není a priori omezen.
Podrobné podmínky včetně popisu technického provedení budou upřesněny na webu přednášejícího.
Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (05.02.2024)
The rules for 2023/2024:
The course is finished by a credit and an exam. Before passing the exam it is necessary to gain the credit.
The credit will be awarded after complete and correct solution of two homeworks and presenting a correct solution of one problem during the classes.
If the submitted solution of a homework is not complete and correct, a correction should be provided. The number of iterations is not a priori limited.
Detailed rules will be specified at the webpage of the lecturer.
Literatura -
Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (01.02.2024)
Rudin, W.: Functional analysis. Second edition, McGraw-Hill, Inc., New York, 1991
Meise R. and Vogt D. : Introduction to functional analysis, Oxford University Press, New York, 1997
Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (01.02.2024)
Rudin, W.: Functional analysis. Second edition, McGraw-Hill, Inc., New York, 1991
Meise R. and Vogt D. : Introduction to functional analysis, Oxford University Press, New York, 1997
Požadavky ke zkoušce -
Poslední úprava: doc. Mgr. Marek Cúth, Ph.D. (03.02.2023)
Zkouška je ústní s možností písemné přípravy. Při zkoušce se testuje zejména znalost a porozumění pojmům a větám probraným na přednášce, a to včetně důkazů. Kromě toho součástí zkoušky bude řešení vybraných úloh pomocí přednesených metod. Hlavním podkladem pro zkoušku jsou přednášky a cvičení k nim.
Poslední úprava: doc. Mgr. Marek Cúth, Ph.D. (03.02.2023)
The exam is oral with the possibility of a written preparation. Mainly knowledge and understanding of the notions and theorems explained during the semester will be tested. In addition, solving selected problems using the methods explained during the course will be a part of the exam. The lectures are the main source of materials for the exam.
Sylabus -
Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (09.05.2022)
1. Banachovy algebry
Definice, příklady, přidání jednotky, renormace.
Invertovatelné prvky, Neumannova řada
Spektrum a jeho vlastnosti, spektrální poloměr
C*-algebry, hermiteovské a normální prvky
Holomorfní kalkulus
2. Gelfandova transformace
Komplexní homomorfismy a maximální ideály v komutativních Banachových algebrách
Gelfandova transformace a její vlastnosti
Aplikace pro komutativní C*-algebry - Gelfand-Neimarkova věta
Aplikace pro nekomutativní C*-algebry - spojitý funkční kalkulus
Spojitý a měřitelný kalkulus, spektrální míra a integrál podle ní, spektrální rozklad normálního operátoru
Polární rozklad, kladná a záporná část
4. Neomezené operátory
Neomezené operátory na Banachových prostorech, uzavřené, hustě definované, spektrum
Neomezené operátory na Hilbertových prostorech, adjungovaný operátor, symetrické a samoadjungované operátory
Cayleyova transformace, indexy defektu
Integrál z neomezené funkce podle spektrální míry
Spektrální rozklad samoadjungovaného operátoru
Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (09.05.2022)
1. Banach algebras
Definition, examples, adding a unit, renorming
Invertible elements, Neumann series
Spectrum and its properties, spektral radius
C*-algebra, self-adjoint and normal elements
Holomorphic calkulus
2. Gelfand transform
Complex homomorphisms and maximal ideals in commutative Banach algebras
Gelfand transform and its properties
Applications for commutative C*-algebras - Gelfand-Neimark theorem
Applications for non-commutative C*-algebras - continuous funkction calkulus
3. Operators on a Hilbert space
Self-adjoint operators, normal operators, positive operators, unitary operators, projections
Continuous and measurable calkulus, spectral measure and integral with respect to it, spectral decomposition of a normal operator
Polar decomposition, positive and negative part
4. Unbounded operators
Unbounded operators on Banach spaces, closed operators, densely defined operators, spectrum
Unbounded operators on Hilbert spaces, adjoint operator, symmetric and self-adjoint operators
Cayley transform, deficiency indices
Integral of an unbounded function with respect to a spectral measure
Spectral decomposition of a self-adjoint operator
Vstupní požadavky -
Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (05.02.2024)
Povinný předmět magisterského oboru Matematická analýza navazující na předmět NMMA401. Obsahuje pokročilá témata z funkcionální analýzy. Předpokládají se znalosti základů funkcionální analýzy (v rozsahu předmětů NMMA331 a NMMA401), komplexní analýzy (Cauchyova věta, Cauchyův vzorec) a teorie míry a integrálu.
Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (05.02.2024)
Continuation of the course NMMA401. Devoted to advanced topics in functional analysis. Expected knowledge includes elements of functional analysis (the content of courses NMMA331 and NMMA401), complex analysis (Cauchy theorem, Cauchy formula) and measure and integration.
