Obecná topologie 1 - NMMA345

• Anglický název: General Topology 1
• Zajišťuje: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2023
• Semestr: zimní
• E-Kredity: 6
• Rozsah, examinace: zimní s.:3/1, Z+Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: čeština
• Způsob výuky: prezenční
• Způsob výuky: prezenční
• Garant: prof. RNDr. Jiří Spurný, Ph.D., DSc.
• Třída: M Bc. OM; M Bc. OM > Zaměření MA; M Bc. OM > Povinně volitelné
• Kategorizace předmětu: Matematika > Topologie a kategorie
• Neslučitelnost : NMAT039, NMMA335
• Záměnnost : NMAT039, NMMA335

Anotace

čeština

Poslední úprava: doc. Mgr. Petr Kaplický, Ph.D. (04.06.2019)

Základní kurs obecné topologie pro bakalářský obor Obecná matematika. Doporučeno pro zaměření Matematická analýza.

angličtina

Poslední úprava: doc. Mgr. Petr Kaplický, Ph.D. (04.06.2019)

An elementary course in general topology for bachelor's program in General Mathematics. Recommended for specialization Mathematical Analysis.

Podmínky zakončení předmětu

Poslední úprava: prof. RNDr. Jiří Spurný, Ph.D., DSc. (13.10.2023)

Zkouška je ústní a její obsah odpovídá sylabu tohoto předmětu v rozsahu, který byl prezentován na přednášce.

Součástí zkoušky je i látka probraná v rámci cvičení. Složením zkoušky lze získat současně zápočet.

Literatura

Poslední úprava: doc. Mgr. Benjamin Vejnar, Ph.D. (29.09.2022)

R. Engelking, General Topology, PWN Warszawa 1977

J. L. Kelley, General Topology, D. Van Nostrand, New York 1957

J. Dugundji, Topology, Boston 1966 (1978)

J. I. Nagata, Modern General Topology, North-Holland 1985 (1968, 1975)

E. Čech, Topological Spaces, Academia, Praha 1966

Sylabus

čeština

Poslední úprava: doc. Mgr. Benjamin Vejnar, Ph.D. (29.09.2022)

1. Pojem topologického prostoru

Otevřené a uzavřené množiny; vnitřek a uzávěr; systémy okolí; báze topologie, báze okolí bodů; spočetná váha a spočetný charakter, separabilita; konvergence posloupností a netů (*filtrů) a Hausdorffovy prostory (*T_0-, T_1-prostory); spojitá zobrazení; příklady metrizovatelných a nemetrizovatelných prostorů.

2. Operace s topologickými prostory

Podprostor, suma, kvocient (faktorprostor), součin; projektivní a injektivní vytváření (slabé a silné topologie); zachovávání vlastností; spočetný součin metrizovatelných (úplně metrizovatelných, kompaktních metrizovatelných) prostorů, Hilbertova krychle.

3. Úplně regulární prostory - vnoření do součinu intervalů

Lemma o vnoření (diagonálním součinu); pojem úplné regularity a jeho zachovávání na podprostory a součiny; vnoření do Tichonovovy krychle (do součinu intervalů); vnoření separabilního metrizovatelného prostoru do Hilbertovy krychle (*metrizovatelnost T_3-prostorů se spočetnou bází).

4. Normální prostory - rozšiřování reálných funkcí

Pojem normálního prostoru a příklad metrizovatelných prostorů; *protipříklady na zachovávání na podprostor a součin; Urysohnovo lemma; Tietze-Urysohnova věta o rozšiřování; úplná regularita T_4-prostorů.

5. Pojem kompaktního a Lindelofova prostoru

Pokrývací definice; charakterizace pomocí netů (*filtrů, ultrafiltrů, ultranetů); zachovávání při spojitém zobrazení; o dědičnosti na podprostory; spočetná a sekvenciální kompaktnost; příklad metrizovatelných prostorů; nabývání extrému a omezenost reálné funkce; normalita Lindelofových prostorů; *součin Lindelofových prostorů, který není Lindelofův.

6. Prostory spojitých funkcí na kompaktu

Prostor C(K); pojmy algebry a svazu spojitých funkcí; Stone-Weierstrassova věta; důsledky.

7. Tichonovova věta a Čech-Stoneova kompaktifikace, rozšiřování zobrazení

Důkaz věty o kompaktnosti součinu; kompaktnost Tichonovovy krychle; pojem kompaktifikace; Čech-Stoneova kompaktifikace; rozšiřování spojitých zobrazení, *ultrafiltry a beta-obal N.

8. Čechovská úplnost a Baireova věta

Topologická úplnost metrizovatelných prostorů; zúplnění metrizovatelného prostoru; čechovská úplnost; příklady lokálně kompaktních a úplně metrizovatelných prostorů; Baireova věta, *uniformní prostor a jeho úplnost.

9. Topologické grupy

Pojem topologické grupy; uniformita na ní; úplná regularita.

angličtina

Poslední úprava: doc. Mgr. Petr Kaplický, Ph.D. (04.06.2019)

1. A concept of a topological space

Open and closed sets; interior and closure; neighborhood systems; base of topology, base of neighborhoods of a point; countable weight and countable character, separability; convergence of sequences and nets (* of filters) and Hausdorff spaces (* T_0-, T_1-spaces); continuous mappings; examples of metrizanle and non-metrizable spaces.

2. Operations on topological spaces

Subspace, sum and quotient, product; projective (weal, initial) generation, inductive (strong, final) generation; preserving properties; countable product of metrizable (completely metrizable, compact metrizable) spaces, Hulbert cube.

3. Completely regular spaces - embedding into a power of reals

Embedding lemma (diagonal product); complete regularity and its preserving by products and subspaces; embedding into Tichonov cube (power of reals); embedding of separable metrizable space into Hilbert cube (* metrizablity of T_3-spaces with countable base).

4. Normal spaces - extension of real-valued functions

Normal space and example of metrizable spaces; * counterexamples to preserving by subspaces and products; Urysohn lemma; Urysohn extension theorem; complete regularity of T_4-spaces.

5. Compact and Lindelof spaces

Definition by means of covers; characterization by means of nets (* filters, ultrafilters); preserving by continuous images, by closed subspaces; countable and sequential compactness; example of metrizable spaces; extremes and boundedness of real-valued functions; normality of Lindelof spaces; *product of Lindelof spaces that is not Lindelof.

6. Function spaces on compact sets

Space C(K); algebras and lattices of continuous functions; Stone-Weierstrass theore; consequences.

7. Tichonov theorem and Cech-Stone compactification, extension of meppings

Proof of compactness of products; compactness of Tichonov cube; compactifications; Cech-Stone compactification; extension of continuous mappings; * ultrafilters and beta-hull of N.

8. Cech-completeness and Baire theorem

Topological completeness of metrizable spaces; completion of metrizable space; Cech-completeness; examples of locally compact and completely metrizable spaces; Baire theorem; *uniform space and its completion.

9. Topological groups

Topological group; uniformities on topological groups; complete regularity.

Vstupní požadavky

Poslední úprava: doc. Mgr. Benjamin Vejnar, Ph.D. (29.09.2022)

Znalost základů teorie metrických prostorů v rozsahu vyučovaném v Matematické analýze prvního dvouletí.