Úvod do komplexní analýzy - NMMA301

• Anglický název: Introduction to Complex Analysis
• Zajišťuje: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2023
• Semestr: oba
• E-Kredity: 5
• Rozsah, examinace: 2/2, Z+Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: čeština
• Způsob výuky: prezenční
• Způsob výuky: prezenční
• Další informace: https://www.mff.cuni.cz/cs/math/pro-studenty/bc-prog/bc-om-garant/momp/uka2023-24
• Poznámka: předmět lze zapsat v ZS i LS
• Garant: doc. RNDr. Roman Lávička, Ph.D.; doc. Mgr. Petr Honzík, Ph.D.
• Třída: M Bc. MMIB; M Bc. MMIB > Povinné; M Bc. OM; M Bc. OM > Povinné
• Kategorizace předmětu: Matematika > Reálná a komplexní analýza
• Neslučitelnost : NMAA021
• Prerekvizity : NMMA101, NMMA102
• Záměnnost : NMAA021
• Je korekvizitou pro: NMMA338
• Je neslučitelnost pro: NMMA901
• Je záměnnost pro: NMMA901, NMAA021

Anotace

čeština

Poslední úprava: G_M (16.05.2012)

Úvodní kurs analýzy v komplexním oboru. Povinný předmět pro bakalářské obory OM a MMIB.

angličtina

Poslední úprava: G_M (16.05.2012)

An introductory course in complex analysis. Required course for bachelor's programs General Mathematics and Information Security.

Cíl předmětu

čeština

Poslední úprava: G_M (27.04.2012)

Úvod do komplexní analýzy.

angličtina

Poslední úprava: G_M (27.04.2012)

Introduction to complex analysis.

Podmínky zakončení předmětu

čeština

Poslední úprava: doc. RNDr. Roman Lávička, Ph.D. (13.02.2024)

LS: Zkouška bude písemná. Zápočet student získá za vypracování domácích úloh.

ZS: Zkouška bude písemná. Zápočet student získá za aktivní účast na cvičení.

angličtina

Poslední úprava: doc. RNDr. Roman Lávička, Ph.D. (25.09.2022)

The exam will be written. The student will receive credit for active participation in exercises.

Literatura

Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (29.09.2017)

Základní literatura

Veselý, J.: Komplexní analýza (pro učitele), Karolinum Praha, 2000.

Novák, B.: Analýza v komplexním oboru (skripta), SPN Praha, 1980.

Kopáček, J.: Příklady z matematiky nejen pro fyziky IV, Matfyzpress 2009.

Doplňková literatura.

Rudin, W.: Analýza v reálném a komplexním oboru, Academia Praha, 1977; přepracované vydání 2003

Metody výuky

čeština

Poslední úprava: G_M (27.04.2012)

Přednáška a cvičení

angličtina

Poslední úprava: G_M (27.04.2012)

Lecture and exercises

Požadavky ke zkoušce

čeština

Poslední úprava: doc. Mgr. Petr Honzík, Ph.D. (29.09.2021)

Požadavky u zkoušky odpovídají sylabu předmětu v rozsahu, který byl probrán na přednášce a cvičení. Nutnou podmínkou získání zápočtu.

angličtina

Poslední úprava: doc. RNDr. Roman Lávička, Ph.D. (26.05.2019)

Requirements to the exam correspond to the syllabus to the extent to which topics were covered during lectures and tutorials.

Sylabus

čeština

Poslední úprava: doc. Mgr. Petr Kaplický, Ph.D. (29.05.2017)

1. Úvod

Těleso komplexních čísel, zápisy komplexního čísla, operace

Komplexní funkce reálné proměnné - spojitost, derivace, integrál

Komplexní funkce komplexní proměnné - spojitost, derivace podle komplexní proměnné, Cauchy-Riemannovy podmínky, holomorfní funkce - definice a příklady (polynomy, rac. funkce)

2. Mocninné řady a elementární funkce

Mocninné řady - poloměr konvergence, kruh konvergence, absolutní a lokálně stejnoměrná konvergence, derivování a integrování člen po členu

Exponenciála, goniometrické a hyperbolické funkce - definice a vlastnosti

Logaritmus a argument - množina hodnot, hlavní hodnota, vlastnosti,

obecná mocnina - množina hodnot, hlavní hodnota, vlastnosti

3. Křivkový integrál

Křivka, cesta, integrál podél cesty, délka cesty

Vlastnosti integrálu podél cesty, výpočet pomocí primitivní funkce, záměna limity a integrálu, spojitost a derivace podle parametru

Charakterizace oblasti, existence primitivní funkce a integrál podél cesty

Spojitá větev logaritmu holomorfní funkce podél cesty, index bodu vzhledem k cestě a jeho vlastnosti

4. Lokální Cauchyova věta a její aplikace

Cauchyova věta pro trojúhelník, hvězdovitá množina a Cauchyova věta pro ni, Cauchyův vzorec pro kruh, Cauchyův vzorec pro vyšší derivace, vyjádření mocninnou řadou, Cauchyovy odhady, Liouvilleova věta, základní věta algebry, násobnost kořenů, věta o jednoznačnosti, princip maxima modulu, Weierstrassova věta o limitě holomorfních funkcí, Morerova věta

5. Izolované singularity, Laurentovy řady, rezidua

Rozšíření o nekonečno, Riemannova sféra, stereografická projekce

Izolované singularity - Casoratti-Weierstrassova věta, vlastnosti funkcí v nekonečnu

Laurentovy řady - mezikruží konvergence, Laurentův rozvoj funkce holomorfní v mezikruží, vztah k izolovaným singularitám, reziduová věta, metody výpočtu reziduí

Jordanovo lemma

6. Globální Cauchyova věta a Cauchyův vzorec

Řetězce, cykly, globální Cauchyova věta a vzorec

angličtina

Poslední úprava: doc. Mgr. Petr Kaplický, Ph.D. (29.05.2017)

Holomorphic functions.

Power series and elementary functions.

Path integral.

The local Cauchy theorem and its applications.

Isolated singularities.

The Laurent series, residues.

The global Cauchy theorem and formula