Poslední úprava: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (18.12.2018)
Výběrová přednáška pojednávající o základech teorie lup a kvazigrup a o jejich souvislostech s projektivními
rovinami a s kvazitělesy.
Podmínky zakončení předmětu -
Poslední úprava: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc. (03.02.2022)
Zkouška je ústní s písemnou přípravou. Studentovi/studentce je zadán jeden z šesti zkouškových okruhů, s tím, že může být požadováno podrobnější rozpracování některé položky.
Poslední úprava: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc. (01.06.2022)
The exam is both oral and written. The student is given one of the six exam areas to prepare in the written form. Consequently the student may be asked to give an additional explanation orally.
Literatura -
Poslední úprava: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc. (03.02.2022)
Základní literaturou jsou skripta přednášejícího v angličtině, která budou průběžně zveřejňována.
Standardní zdroje k tématu jsou:
V. D. Belousov: Osnovy teorii kvazigrupp i lup, Nauka, Moskva, 1967
H. O. Pflugfelder: Quasigroups and Loops: An Introduction, Heldermann Verlag, 1991
D. Keedwell and József Dénes: Latin Squares and their Applications, 2nd Edition, North Holland, 2015
M. Hall, Jr.: Theory of Groups, MacMillan Co., 1959
D. R. Hughes a F. C. Piper: Projective planes, Springer Verlag, 1973
Poslední úprava: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (18.12.2018)
V. D. Belousov: Osnovy teorii kvazigrupp i lup, Nauka, Moskva, 1967
H. O. Pflugfelder: Quasigroups and Loops: An Introduction, Heldermann Verlag, 1991
D. Keedwell and József Dénes: Latin Squares and their Applications, 2nd Edition, North Holland, 2015
M. Hall, Jr.: Theory of Groups, MacMillan Co., 1959
D. R. Hughes a F. C. Piper: Projective planes, Springer Verlag, 1973
Požadavky ke zkoušce -
Poslední úprava: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc. (03.02.2022)
1. Volná kvazigrupa. Redukovaná slova a přepisující pravidla. Kongruence kvazigrup a lup. Souvislost s bloky multiplikační grupy. Grupa vnitřních zobrazení a její význam pro normalitu podlupy. Standardní generátory.
2. Semisymetrie, MTS, STS, jejich interpretace z hlediska shody parastrofií. Projektivní a afinní STS. Prolongace a STS lupy. HTS a jejich charakterizace přes distributivitu a komutativní moufangovské lupy. Struktura komutativních moufangovských lup.
3. Nuklea lupy. Charakterizace přes autotopismy. Důkaz, že jde o podlupy. Definice centra lupy. Souvislost s grupou vnitřních zobrazení. Popis centra multiplikační grupy lupy. Jeho vztah s normalizátorem grupy vnitřních zobrazení. Normalita nuklea jako důsledek normality levé či pravé multiplikační grupy. Shoda a normalita nukleí v bolovských a moufangovských lupách.
4. Definice afinní a projektivní roviny, k-sítí a transversálních designů. Přechod mezi afinní a projektivní rovinou. Podmínky definující afinní rovinu pomocí aditivní grupy a multiplikativní lupy. olineace a definice kvazitělesa. Polotělesa a skorotělesa. Dicksonovo skorotěleso. Souvislost konečných skorotěles a ostře 2-tranzitivních permutačních grup.
5. Odvození bolovských identit cestou levé a pravé inverzní vlastnosti. Popis přes skruty translací. Odvození a ekvivalence moufangovských identit. Extra lupy a jejich popis jako moufangovských lup s čtverci v nukleu. Idea konstrukce lupy oktoniónů přes Fanovu rovinu a důkaz jednoznačnosti takové lupy.
6. Pseudoautomorfismy a jejich aplikace v moufangovských lupách. Vlastnosti asociátorů a komutátorů v moufangovských lupách stupně nilpotence dva. Kvadratické formy a konstrukce oktoniónů. Kódové lupy (v rozsahu, jaký bude probrán).
Poslední úprava: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc. (01.06.2022)
1. Free quasigroups. Reduced words and rewriting rules. Congruences of quasigroups and loops. Connections with blocks of the multiplication group. The group of inner mappings and its meaning with respect to the normality of a subloop. Standard generators.
2. Semisymmetry, MTS, STS, and their interpretation via parastrophy. Projective and affine STS. Prolongation and STS loops. HTS and its characterization via distributivity and commutativity of Moufang loops. Structure of finite commutative Moufang loops.
3. Nuclei of loops. Their characterization by autotopisms. A proof that nuclei are subloops. Center of a loop. The connection of the center with the inner mapping group. The center of the multiplication group. Its relationship to the normalizer of the inner mapping group. The normality of a nucleus as a consequence of the normality of the left or the right multiplication group. Coincidence and normality of the nuclei in Bol and Moufang loops.
4. Definition of affine and projective planes, k-nets and transversal designs. Transitions between affine and planar plane. Definitions of affine planes by means of additive group and a multiplicative loop. Definition of a quasifield and collineations. Semifields and nearfields. Dickson nearfields. Connections of finite nearfields and sharply 2-transitive permutation groups.
5. Deriving Bol identities by means of left and right inverse properties. The descriptions by twists of translations. Derivation and equivalence of Moufang identities. Extra loops and their characterization as Moufang loops with squares in the nucleus. The idea of constructing octonion loops by means of Fano plane, The proof of uniqueness of such a definition.
6. Pseudoautomorphisms and their applications in Moufang loops. Properties of associators and commutators in Moufang loops of nilpotency degree two. Quadratic forms and the construction of octonions. Code loops (the extent may differ from course to course).
Sylabus -
Poslední úprava: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc. (03.02.2022)
Isotopie lup a kvazigrup a jejich intepretace latinskými čtverci.
Významné algebraické variety lup a kvazigrup.
Příklady konstrukce.
Souvislosti s projektivními rovinami.
Kvazitělesa, skorotělesa a polotělesa.
Souvislosti s teorií grup a s kryptografií.
Podrobnější představu lze získat z požadavků ke zkoušce.
Poslední úprava: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc. (01.06.2022)
Isotopy of loops and quasigroups and their interpretation by means of latin squares.
Important algebraic varieties of loops.
Constructions of various classes of loops.
Connections with projective planes.
Quasifields, nearfields and semifields.
Connections with group theory and cryptography.
More information may be retrieved from the exam requirements.