Funkcionální analýza 1 - NMMA401

• Anglický název: Functional Analysis 1
• Zajišťuje: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2015 do 2015
• Semestr: zimní
• E-Kredity: 8
• Rozsah, examinace: zimní s.:4/2, Z+Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: angličtina, čeština
• Způsob výuky: prezenční
• Garant: prof. RNDr. Jiří Spurný, Ph.D., DSc.
• Vyučující: doc. RNDr. Petr Holický, CSc.; prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc.
• Třída: M Mgr. MA; M Mgr. MA > Povinné; M Mgr. MOD; M Mgr. MOD > Povinně volitelné
• Kategorizace předmětu: Matematika > Funkční analýza
• Je záměnnost pro: NRFA050, NRFA051

Anotace

čeština

Povinný předmět magisterských oborů Matematická analýza a Matematické modelování ve fyzice a technice. Doporučeno pro první ročník magisterského studia. Obsahem jsou pokročilejší partie funkcionální analýzy - topologické vektorové prostory, slabé topologie, vektorová integrace, spektrální teorie.

Poslední úprava: Pyrih Pavel, doc. RNDr., CSc. (12.05.2022)

angličtina

Mandatory course for master study branches Mathematical analysis and Mathematical modelling in physics and technics. Recommended for the first year of master studies. The course is devoted to advanced topics in functional analysis - topological vector spaces, weak topologies, vector integration, spectral theory.

Poslední úprava: Pyrih Pavel, doc. RNDr., CSc. (12.05.2022)

Literatura

čeština

Rudin, W.: Functional analysis. Second edition, McGraw-Hill, Inc., New York, 1991

Meise R. and Vogt D. : Introduction to functional analysis, Oxford University Press, New York, 1997

Poslední úprava: Spurný Jiří, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (24.09.2020)

angličtina

Rudin, W.: Functional analysis. Second edition, McGraw-Hill, Inc., New York, 1991

Meise R. and Vogt D. : Introduction to functional analysis, Oxford University Press, New York, 1997

Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (09.09.2021)

Sylabus

čeština

1. Topologické lineární prostory (definice a generování topologií, lineární a omezená zobrazení, konečně dimenzionální prostory, metrizovatelnost a omezenost)

2. Lokálně konvexní prostory (Minkowského funkcionál a jeho vlastnosti, pseudonormy a lokálně konvexní topologie, geometrické oddělování a důsledky)

3. Slabé topologie (definice topologie generované prostorem forem a dualita, slabé topologie, Mazurova věta, poláry, věta o bipoláře, Banach-Alaoglu, Goldstine, slabá kompaktnost koule v reflexivních prostorech, vybírání slabě konvergentní podposloupnosti)

4. Vektorová integrace (měřitelné funkce, Bochnerův integrál, Bochnerovy prostory)

5. Banachovy algebry (definice, přidání jednotky, příklady, invertovatelnost, spektrum, spektrální poloměr, vlastnosti množiny invertovatelných prvků, Gelfand-Mazurova věta, topologické vlastnosti spektra, holomorfní kalkulus)

6. Gelfandova reprezentace (ideály a maximální ideály, vlastnosti Gelfandovy transformace, Gelfandova transformace pro C*-algebry (Gelfand-Naimark), aplikace Gelfandovy transformace pro nekomutativní algebry (invariantnost spektra pro podalgebry)

7. Operátory na Hilbertově prostoru (definice - unitární, normální, samoadjungovaný, projekce a jejich charakterizace; základní vlastnosti normálních operátorů, Hilbert-Schmidtova věta)

8. Spektrální rozklad (spojitý kalkulus, měřitelný kalkulus, spektrální míra a integrál podle ní, spektrální rozklad normálního operátoru, nezáporné operátory, polární rozklad, kladná a záporná část, unitární jako exponenciela samoadjungovaného, aproximace kompaktního operátoru konečně dimenzionálními)

Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (09.05.2022)

angličtina

Topological vector spaces, locally convex spaces, weak topologies, vector integration and Bochner spaces, Banach algebras, Gelfand transform, operators on Hilbert spaces, spectral decomposition and function calculus.

Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (09.05.2022)