Proseminář pro studenty 2.r. fyziky. Je zaměřený na metody matematické a teoretické fyziky, zvláště na aparát užívaný v přednáškách z Klasické elektrodynamiky a v Úvodu do kvantové mechaniky. Vektory a tenzory. Křivočaré souřadnice a vektorová analýza. Zakřivené prostory (gravitace jako zakřivení prostoročasu). Teorie distribucí, Fourierova transformace, distribuce v 3D, Greenovy funkce. Klasická teorie pole (lagrangeovský a
hamiltonovský formalismus). Feynmanova formulace kvantové mechaniky (pravidla pro pravděpodobnosti, dráhový integrál, Feynmanovy diagramy - kvantová teorie komiksem).
Poslední úprava: prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D. (21.05.2004)
Selected parts of theoretical and mathematical physics: Tensor calculus, curvilinear coordinates, curved spaces, Introduction to distributions, Fourier transformation, distribution in 3D, Green functions. Introduction to classical field theory. Feynman formulation of quantum mechanics. For the 2nd year of the physics study.
Literatura
Poslední úprava: prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D. (29.01.2021)
Zs. Pachová, T. Frey: Vektorová a tenzorová analýza, SNTL, Praha 1964.
K. Kuchař: Základy obecné teorie relativity, Academia, Praha 1968.
L. Schwartz: Matematické metody ve fyzice, SNTL, Praha 1972
J. W. Leech: Klasická mechanika, SNTL, Praha 1970.
R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. L. Sands, Feynmanovy přednášky z fyziky 3, Fragment, Havlíčkův Brod 2002.
R. P. Feynman: Neobyčejná teorie světla a látky, Aurora, Praha 2001.
Sylabus -
Poslední úprava: prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D. (29.01.2021)
Vektory a tenzory
Affinní prostor, vektory a lineární formy.
Tenzory, transformace souřadnic, diagramatické značení.
Skalární součin a metrika, Levi-Civitův tenzor.
Křivočaré souřadnice a vektorová analýza
Tenzorová pole, gradient, nabla-operátor a vektorová analýza.
Křivočaré souřadnice, ortonormální triády, vektorové operátory v křivočarých souřadnicích.
Integrování vektorů a tenzorů.
Zavedení distribucí a jejich vlastnosti.
Příklady: δ-distribuce, derivace nespojité funkce, regularizace 1/x.
Fourierova transformace distribucí, příklady.
Distribuce na varietě, charakteristické funkce, plošná a lineární δ-distribuce a jejich derivace.
Aplikace: bodové, lineární a plošné zdroje, dipóly, hraniční podmínky v elektrostatice a magnetostatice, elektrické pole v okolí vodičů.
Greenovy funkce
Greenovy funkce v jedné proměnné. Greenova funkce Laplaceova operátoru, Laplaceova rovnice na oblasti s hranicí, řešení rovnice vedení tepla, perturbační řešení Schrödingerovy rovnice s potenciálem.
Klasická teorie pole
Princip akce, lagrangeovský a hamiltonovský formalismus pro pole, skalární a elektromagnetického pole, kalibrační symetrie.
Od sčítání přes dráhy k řešení diferenciálních rovnic
Feynmanova formulace kvantové mechaniky:
kvantové historie, kvantová nerozlišitelnost, pravidla pro amplitudy, model
měření. Dráhový integrál, amplituda vývoje volné
částice, perturbační řešení Schrödingerovy rovnice.
Feynmanovy diagramy - kvantová teorie pole komiksem.
Poslední úprava: prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D. (29.01.2021)
Vectors and tensors.
Affine space, vectors and linear forms, tensors, coordinate transformations, diagrammatic notation, scalar product and metric, symmetric and skew-symmetric tensors.
Curvilinear coordinates and vector analysis.
Tensor fields, gradient, nabla-operator and vector analysis, curvilinear coordinates, triads. Integrating vectors and tensors.
Basic definitions and properties, δ-distribution, derivatives of non-smooth functions, regularization of 1/x. Fourier transformation of distribution, examples. Distribution on manifolds, characteristic function, surface and linear δ-distributions and their derivatives. Aplications: point, linear and surface sources, dipoles, boundary conditions for electrostatic a magnetostatic, electric field near conductors.
Green functions
Green functions in one variable. Green function for Laplace operator, Laplace equation on a domain with a boundary, heat equation, perturbative solution of Schrödinger equation with potential.
Classical field theory
Lagrange and Hamilton formalism for fields, scalar and electromagnetic field, gauge symmetry.
From sum over trajectories to solution of differential equations.
Feynman's formulation of quantum mechanics: quantum histories, quantum indistinguishability, amplitude rules, measurement model. Path integral, amplitude of free particle evolution, perturbative solution of Schrödinger equation. Indistinguishable particles, fermions and bosons. Feynman diagrams - quantum field theory as comics.
