Fraktály a chaotická dynamika - NMNV361

• Anglický název: Fractals and Chaotic Dynamics
• Zajišťuje: Katedra numerické matematiky (32-KNM)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2020
• Semestr: zimní
• E-Kredity: 3
• Rozsah, examinace: zimní s.:2/0, Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: čeština, angličtina
• Způsob výuky: prezenční
• Způsob výuky: prezenční
• Garant: doc. RNDr. Václav Kučera, Ph.D.
• Vyučující: doc. RNDr. Václav Kučera, Ph.D.
• Třída: M Bc. MMIT; M Bc. MMIT > Doporučené volitelné; M Bc. OM; M Bc. OM > Doporučené volitelné; M Mgr. NVM; M Mgr. NVM > Volitelné
• Kategorizace předmětu: Matematika > Numerická analýza

Anotace

čeština

Předmět představuje úvod do fraktální geometrie a teorie chaosu. Zkonstruujeme nejznámější druhy fraktálů a odvodíme jejich základní vlastnosti. Klíčovým nástrojem zde bude pojem iterace. Soustředíme se na iterované funkční systémy (např. Barnsleyho kapradina), iterace reálných funkcí (Feigenbaumova univerzalita) a iterace komplexních funkcí (Mandelbrotova a Juliovy množiny). Předmět je přístupný širšímu okruhu zájemců jak z matematiky, tak i fyziky a informatiky.

Poslední úprava: Vlasák Miloslav, RNDr., Ph.D. (10.05.2018)

angličtina

The course is an introduction to fractal geometry and chaos theory. We will construct the best known types of fractals and derive their basic properties. The key tool will be the concept of iteration. We will focus on iterated function systems (e.g. Barnsley fern), iteration of real functions (Feigenbaum universality) and iteration of complex functions (Mandelbrot and Julia sets). The course is accessible to a wider range of students of mathematics, as well as physics and computer science.

Poslední úprava: Vlasák Miloslav, RNDr., Ph.D. (10.05.2018)

Podmínky zakončení předmětu

čeština

Zkouška je ústní. Požadavky ke zkoušce odpovídají sylabu předmětu v rozsahu, který byl prezentován na přednášce.

Poslední úprava: Kučera Václav, doc. RNDr., Ph.D. (12.05.2018)

angličtina

The exam is oral. The examination requirements are given by the topics in the syllabus, in the extent to which they they were taught in course.

Poslední úprava: Kučera Václav, doc. RNDr., Ph.D. (12.05.2018)

Literatura

čeština

Devaney, R.L.: An introduction to chaotic dynamical systems, Westview Press, 2003.

Barnsley, M. F.: Fractals everywhere, Boston: Academic Press Professional, 1993.

Beardon, A.F.: Iteration of rational functions, Graduate Texts in Mathematics vol. 132, Springer, 1991.

Poslední úprava: Kučera Václav, doc. RNDr., Ph.D. (12.05.2018)

angličtina

Devaney, R.L.: An introduction to chaotic dynamical systems, Westview Press, 2003.

Barnsley, M. F.: Fractals everywhere, Boston: Academic Press Professional, 1993.

Beardon, A.F.: Iteration of rational functions, Graduate Texts in Mathematics vol. 132, Springer, 1991.

Poslední úprava: Kučera Václav, doc. RNDr., Ph.D. (29.10.2019)

Požadavky ke zkoušce

čeština

Zkouška je ústní. Požadavky u zkoušky odpovídají sylabu předmětu v rozsahu, který byl prezentován na přednášce.

Poslední úprava: Kučera Václav, doc. RNDr., Ph.D. (10.06.2019)

angličtina

The exam is in oral form. The requirements are given by the scope covered in the lecture.

Poslední úprava: Kučera Václav, doc. RNDr., Ph.D. (10.06.2019)

Sylabus

čeština

Fraktální geometrie: Soběpodobnost, základní konstrukce, příklady z přírody. Hausdorffova dimenze.

Iterované funkční systémy: Afinně soběpodobné množiny, systémy kontrakcí. Existence atraktoru, kolážová věta. Algoritmy na generování atraktoru, 'chaos game'. Vlastnosti atraktoru.

Iterace reálných funkcí: Bifurkační kaskáda a diagram. Li-Yorkeova věta, Šarkovského věta. Kvadratický (unimodální) případ - definice chaosu, existence chaotických zobrazení.

Iterace komplexních funkcí: Kvadratické funkce, Bernoulliho posun, tranzitivita, citlivost na počáteční podmínky. Juliovy a Fatouovy množiny. Příklady geometrie Juliových množin, základní dichotomie, Douady-Hubbardův potenciál, externí paprsky, petaly. Mandelbrotova množina, základní vlastnosti, potenciál, základy kombinatoriky Mandelbrotovy množiny. Iterace racionálních funkcí, holomorfní dynamika.

Poslední úprava: Kučera Václav, doc. RNDr., Ph.D. (27.11.2018)

angličtina

Fractal geometry: Self-similarity, basic constructions, examples from nature. Hausdorff dimension.

Iterated function systems: Affine self-similar sets, systems of contractions. Existence of the attractor, collage theorem. Algorithms for the generation of attractors, chaos game. Attractor properties.

Iteration of real functions: Bifurcation cascade and diagram. Li-Yorke theorem, Sharkovskii theorem. Quadratic (unimodal) case - definition of chaos, existence of chaotic mappings.

Iteration of complex functions: Quadratic functions, Bernoulli shift, transitivity, sensitivity to initial conditions. Julia and Fatou sets. Examples of the geometry of Julia sets, basic dichotomy. Douady-Hubbard potential, external rays, petals. Mandelbrot set, basic properties, potential, fundamentals of the combinatorics of Mandelbrot's set. Iteration of rational functions, holomorphic dynamics.

Poslední úprava: Kučera Václav, doc. RNDr., Ph.D. (12.05.2018)

Vstupní požadavky

čeština

Základní všeobecné znalosti z matematické analýzy a lineární algebry.

Poslední úprava: Kučera Václav, doc. RNDr., Ph.D. (12.05.2018)

angličtina

Basic general knowledge of mathematical analysis and linear algebra.

Poslední úprava: Vlasák Miloslav, RNDr., Ph.D. (10.05.2018)