Teorie míry a integrálu - NMMA203

• Anglický název: Measure and Integration Theory
• Zajišťuje: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2012 do 2012
• Semestr: zimní
• E-Kredity: 8
• Rozsah, examinace: zimní s.:4/2, Z+Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: nevyučován
• Jazyk výuky: čeština
• Způsob výuky: prezenční
• Garant: prof. RNDr. Ivan Netuka, DrSc.
• Třída: M Bc. MMIB; M Bc. MMIB > Povinné; M Bc. MMIB > 2. ročník; M Bc. OM; M Bc. OM > Povinné; M Bc. OM > 2. ročník
• Kategorizace předmětu: Matematika > Reálná a komplexní analýza
• Neslučitelnost : {Stará Teorie míry a integrálu I a II}
• Prerekvizity : {Aspoň jedna analýza 1. roč.}
• Záměnnost : {Stará Teorie míry a integrálu I a II}
• Je korekvizitou pro: NMSA202
• Je neslučitelnost pro: NMMA903
• Je prerekvizitou pro: NMMA301
• Je záměnnost pro: NMAA069, NMMA903, NMAA070

Anotace

čeština

Základní přednáška z teorie míry a integrálu. Povinný předmět pro bakalářské obory OM a MMIB.

Poslední úprava: G_M (16.05.2012)

angličtina

Introductory course on measure theory and integration. Required course for bachelor's programs General Mathematics and Information Security.

Poslední úprava: G_M (16.05.2012)

Cíl předmětu

čeština

Teorie míry a abstraktního Lebesgueova integrálu jako základ pro další studium moderní matematické analýzy a teorie pravděpodobnosti.

Poslední úprava: G_M (27.04.2012)

angličtina

Abstract integration and measure theory as a basis for the study of modern mathematical analysis and probability theory.

Poslední úprava: G_M (27.04.2012)

Literatura

W. Rudin: Analýza v reálném a komplexním oboru, Academia, Praha, 2003

J. Lukeš, J. Malý: Míra a integrál (Measure and integral), skripta MFF

J. Kopáček: Matematická analýza pro fyziky III, skripta MFF

J. Lukeš: Příklady z matematické analýzy I. Příklady k teorii Lebesgueova integrálu, skripta MFF

I. Netuka, J. Veselý: Příklady z matematické analýzy. Míra a integrál, skripta MFF

Poslední úprava: Malý Jan, prof. RNDr., DrSc. (07.11.2018)

Metody výuky

čeština

přednáška a cvičení

Poslední úprava: G_M (27.04.2012)

angličtina

lecture and exercises

Poslední úprava: G_M (27.04.2012)

Sylabus

čeština

1. Základní pojmy teorie míry.

Sigma - algebra, borelovské množiny, míra, úplná míra, měřitelné funkce, jednoduché funkce.

2. Lebesgueova míra v R^n.

Tvrzení o existenci a jednoznačnosti Lebesgueovy míry a její vlastnosti.

3. Abstraktní integrál.

Zavedení integrálu a základní vlastnosti. Záměna limity a integrálu: Fatouovo lemma, Leviho a Lebesgueova věta. Čebyševova nerovnost.

4. Integrál a míra v R.

Vztah Lebesgueova integrálu k Newtonovu a Riemannovu integrálu (důkaz pro spojité funkce). Distribuční funkce a Lebesgue-Stieltjesova míra.

5. Prostory L^p a konvergence posloupností funkcí.

Konvergence skoro všude, Jegorovova věta.

6. Teorie míry.

Obraz míry. Radon - Nikodymova věta a věta o Lebesgueově rozkladu. Znaménkové míry. Hahnův a Jordanův rozklad.

Poslední úprava: T_KMA (19.09.2013)

angličtina

1. Basic notions of measure theory.

Sigma - algebra, Borel sets, measure, complete measure, measurable functions, simple functions.

2. Lebesgue measure in R^n.

Existence and uniqueness of Lebesgue measure and its properties.

3. Abstract integral.

Construction of integral on a measure space. Fatou's lemma, Levi's and Lebesgue's theorems (monotone convergence, dominated convergence). Chebyshev's inequality.

4. Integral and measure in R.

Relation of the Lebesgue, Newton and Riemann integrals. Distribution functions and Lebesgue-Stieltjes measures.

5. L^p spaces and convergence of sequences of functions.

Almost everywhere convergence, Jegorov's theorem.

6. Measure theory.

Image of a measure. Radon - Nikodym theorem and Lebesgue's decomposition. Signed measures. Hahn and Jordan decomposition.

Poslední úprava: Malý Jan, prof. RNDr., DrSc. (05.11.2013)