TOPOLOGICKÉ LINEÁRNÍ PROSTORY
1.A. Topologické lineární prostory
definice, příklady, základní vlastnosti
vlastnosti filtru okolí nuly, von Neumannovy axiomy, regularita
1.B. Lokálně konvexní prostory
definice, filtr okolí nuly, barely
barelované prostory, vztah k Banach-Steinhausově větě
Baireovy LCS, Fréchetovy prostory
Minkowského funkcionál, základní vlastnosti, jeho spojitost
omezené množiny podle Banacha i von Neumanna
Kolmogorovovo kriterium normovatelnosti, metrizovatelnost LCS
vytváření LCS pomocí systému pseudonorem, filtr okolí nuly, příklady,
charakteristika konvergence
1.C. Slabé topologie a dualita
slabé topologie, duál ve slabé topologii, báze okolí nuly
Hahn-Banachova věta pro LCS
topologie souhlasející s dualitou
oddělování konvexních množin, malá Mazurova věta
uzávěr konvexní množiny v topologiích souhlasejících s dualitou
(absolutní) polára a její vlastnosti, věta o bipoláře
silná topologie, reflexivita a semireflexivita LCS
Alaoglu-Bourbakiho věta, Goldstinovo lemma
charakteristiky reflexivních Banachových prostorů (Pettis, Banach-Bourbaki, James)
Eberlein-Šmulianova charakteristika kompaktních množin ve slabých topologiích
Banachových prostorů
1.D. Kompaktní konvexní množiny
extremální body, příklady
Bauerův princip minima
Krejn-Milmanova věta a neprázdnost množiny extremálních bodů
extremální body a uzavřenost jednotkové sféry prostoru Radonových měr,
aproximace molekulárními měrami
1.E. Integrální reprezentace
pojem těžiště a reprezentující míry, ilustrace v eukleidovských prostorech
(Caratheodoryova věta)
formulace úlohy o integrální reprezentaci, existence a jednoznačnost reprezentující
míry soustředěné na uzávěru či množině extremálních bod? (reformulace
Krejn-Milmanovy věty), Rieszova věta o reprezentaci jako věta tohoto typu
množina extremálních bodů, její měřitelnost, Bauerova charakteristika
Choquetova věta o integrální reprezentaci (existence maximálních reprezentujích měr)
pojem nekonečně-dimenzionálního simplexu
Laplaceova transformace měr a funkcí, úplně monotonní funkce, Bernsteinova věta
2. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET V BANACHOVÝCH PROSTORECH
2.A. Diferenciální počet v Banachových prostorech
Gateauxova a Fréchetova derivace, zobrazení třídy C ^1
2.B. Základy variačního počtu
formulace klasických úloh, metody řešení
Du Bois-Reymondovo lemma a Euler-Lagrangeovy rovnice
existenční věta pro konvexní zdola polospojité funkcionály v reflexivních
Banachových prostorech
2.C. Vektorové integrace
Riemann-Gravesův integrál
silná a slabá měřitelnost, vztah mezi nimi
absolutní a bezpodmínečná konvergence v Banachových prostorech
definice Bochnerova integrálu a jeho základní vlastnosti
Dunfordovo lemma, Dunfordův a Pettisův integrál
vztah Bochnerova a Pettisova integrálu
klasická Radon-Nikodýmova věta, derivování vektorových funkcí
omezené variace, prostory s RNP a KMP
Početní technika:
extremální body konvexních množin
slabé a silné derivace funkcionálů
extrémy funkcionálů, použití Euler-Lagrangeových rovnic
Last update: Spurný Jiří, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (16.02.2011)