Mathematics for Physicists I - NOFY161

• Title: Matematika pro fyziky I
• Guaranteed by: Laboratory of General Physics Education (32-KVOF)
• Faculty: Faculty of Mathematics and Physics
• Actual: from 2024
• Semester: winter
• E-Credits: 8
• Hours per week, examination: winter s.:4/2, C+Ex [HT]
• Capacity: unlimited
• Min. number of students: unlimited
• 4EU+: no
• Virtual mobility / capacity: no
• State of the course: taught
• Language: Czech
• Teaching methods: full-time
• Guarantor: doc. RNDr. Dušan Pokorný, Ph.D.; prof. Mgr. Milan Pokorný, Ph.D., DSc.
• Teacher(s): doc. RNDr. Dušan Pokorný, Ph.D.; doc. RNDr. Ondřej Souček, Ph.D.; Mgr. Dalibor Šmíd, Ph.D.; RNDr. Karel Tůma, Ph.D.
• Class: Fyzika
• Classification: Physics > Mathematics for Physicists
• Incompatibility : NMAF061
• Interchangeability : NMAF061
• Is incompatible with: NMAF061
• Is interchangeable with: NMAF061

Annotation

English

Basic mathematics course for 2nd year students of physics. Prerequisities: Mathematical analysis I+II, NOFY151, NOFY152, and Linear algebra I+II, NOFY141, NOFY142.

Last update: Kudrnová Hana, Mgr. (30.06.2020)

Czech

Základní přednáška z matematiky pro 2. ročník fyziky navazující na Matematickou analýzu (I + II), kódy NOFY151, NOFY152 a Lineární algebru (I+II) , kódy NOFY141, NOFY142.

Last update: Kudrnová Hana, Mgr. (30.06.2020)

Aim of the course

English

Basic mathematics course for 2nd year students of physics. Prerequisities: Mathematical analysis I+II and Linear algebra I+II.

Last update: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (21.09.2022)

Czech

Základní přednáška z matematiky pro 2. ročník fyziky navazující na Matematickou analýzu (I + II), kódy NOFY151,

NOFY152 a Lineární algebru (I+II) , kódy NOFY141, NOFY142.

Last update: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (21.09.2022)

Course completion requirements

Zápočet: úspěšné napsání zápočtových písemek.

Udělený zápočet je podmínkou účasti na zkoušce.

Zkouška: bude sestávat ze dvou částí, početní (písemné) a teoretické (ústní).

Na výsledku zkoušky se obě části podílejí stejnou měrou. Podrobnosti viz webové stránky přednášejícího.

Last update: Pražák Dalibor, doc. RNDr., Ph.D. (13.10.2023)

Literature

• Kopáček, J. a kol.: Matematika pro fyziky, díly III-V, skriptum MFF UK, Matfyzpress
• Záznamy přednášek

Last update: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (21.09.2022)

Teaching methods

přednáška + cvičení

Last update: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (21.09.2022)

Requirements to the exam

Zkouška bude písemná a bude mít 2 části, početní a teoretickou. Student musí úspěšně složit obě části zkoušky.

Požadavky u zkoušky odpovídají sylabu předmětu v rozsahu, který byl probrán na přednášce a cvičení.

Last update: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (21.09.2022)

Syllabus

English

1. Sequences and series of functions

Pointwise and uniform convergence; criteria for uniform convergence of sequences and series of functions; interchanging of limits, derivative and integral of sequences and series of functions; power series; real analytic functions.

2. Lebesgue integral

Sigma-algebras, measures; construction of the Lebesgue measure; measurable functions; approximation of measurable fuunctions by simple functions; integral of simple non-negative functions; integral of general functions and its properties; limite passage through the integral; relations among Riemann, Newton and Lebesgue integral; integral dependent on parameters; Fubini's theorem, change of variables.

3. Lebesgue spaces

Definition, norms, basic properties. Dense subsets. Mollifier.

3. Line integral in general dimension

The notion of a curve, line integrals of 1st and 2nd kind. Potential and curl-free vector fields.

4. Surface integral in general dimension

The notion of a surface, orientation of a surface. Surface integrals of 1st and 2nd kind, Gramm determinant, Gauss-Ostrogradskij, Green and Stokes theorems. Integral representations of div and curl operators.

5. Fourier series

Orthogonal polynoms. Abstract Fourier series. Trigonometric Fourier series.

Last update: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (21.09.2022)

Czech

1. Posloupnosti a řady funkcí
Bodová a stejnoměrná konvergence. Weierstrassovo kritérium, Abelovo, Dirichletovo a Leibnizovo kritérium.Limita a spojitost, záměna limit, záměna limity a součtu řady, záměna limity a derivace, sumy a derivace, neurčitého integrálu a limity (sumy), určitého integrálu a limity (sumy). Abelova věta o konvergenční kružnici u mocninných řad.

2. Vícerozměrný integrál
Elementy teorie míry, vnější míra, míra, měřitelné množiny a jejich vlastnosti, Lebesgueova míra a její vlastnosti, pojem "skoro všude". Měřitelné funkce a operace s nimi. Lebesgueův integrál a jeho základní vlastnosti. Fubiniho věta a věta o substituci, regulární substituce. Věty o limitních přechodech: Leviho, Lebesgueova, Fatouova, integrabilní majoranty. Integrály s parametrem, limita, spojitost a derivování podle parametru.

3 Lebesgueovy prostory

Definice, norma, základní vlastnosti. Husté podmnožiny. Aproximace pomocí zhlazení regularizátorem.

3. Křivkový integrál
Křivka, jednoduchá křivka, uzavřená křivka. Tečný a normálový vektor. Křivkový integrál 1. a 2. druhu, souvislost obou integrálů, nezávislost na parametrizaci. Potenciál vektorového pole. Výpočet integrálu druhého druhu pomocí potenciálu. Nulová rotace a souvislost s existencí potenciálu.

4. Plošný integrál
2D plocha v dimenzi 3 a její normálový vektor. Plošný integrál 1. druhu a jeho interpretace. Orientovaná plocha, spojité pole jednotkových normál. Plošný integrál 2. druhu. Souvislost mezi integrálem 1. a 2. druhu. Grammův determinant a různá zadání plochy. Gauss-Ostrogradského věta, věta o divergenci, integrální reprezentace divergence, Greenovy formule. Stokesova věta, integrální interpretace rotace. Poznámky o plošném integrálu v dimenzi n.

5. Fourierovy řady
Fourierovy koeficienty a Fourierova trigonometrická řada. Riemann-Lebesgueovo lemma a jeho důsledky. Riemannova věta o lokalizaci. Dirichletovo integrální jádro. Fourierovy řady pro dostatečně hladké funkce. Besselova nerovnost a Parsevalova rovnost pro L2 funkce. Derivování a integrování Fourierových řad člen po členu. Abstraktní Fourierovy řady: Hilbertův prostor, ortogonální systém, Fourierovy řady v Hilbertových prostorech, separabilní Hilbertův prostor, ekvivalence separability a existence úplné ortonormální báze, abstraktní Besselova nerovnost a Parsevalova rovnost, souvislost s úplností OG systému. Různé ortogonální systémy, aplikace: prostory s vahami, souvislost ortogonálních systémů s vlastními funkcemi diferenciálních operátorů. Ortogonální systémy polynomů: Legendreovy, Laguerrovy, Hermiteovy, Čebyševovy apod.

Last update: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (21.09.2022)