A recommended course on group theory for specialization Mathematical Structures within General Mathematics.
Last update: G_M (15.05.2012)
Základy teorie grup: kompoziční řady, semidirektní součin, působení na množině, řešitelnost a nilpotence.
Sylowovy věty. Volné grupy a jejich podgrupy. Prezentace.
Určeno pro zaměření Matematické struktury na OM.
Course completion requirements -
Last update: doc. Mgr. Vítězslav Kala, Ph.D. (15.09.2021)
Credit will be awarded for succesfully solving several homework sets (see web for details). The nature of the assessment of study allows for repeated attempts at earning credit.
Last update: doc. Mgr. Vítězslav Kala, Ph.D. (15.09.2021)
Zápočet se uděluje za úspěšné vyřešení několika sad domácích úkolů zadaných během semestru (pro detaily viz web). Zápočet není nutnou podmínkou účasti u zkoušky.
Literature -
Last update: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (02.10.2012)
Aleš Drápal: Teorie grup : základní aspekty, Karolinum, Praha, 2000.
Derek J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer, New York, 1982.
Joseph J. Rotman: An Introduction to the Theory of Groups, Springer, New York, 1995.
M. Hall: The Theory of Groups, Macmillan Company, New York, 1959.
I.Martin: Isaacs, Finite group theory, American Mathematical Society, Providence, 2008.
L. Procházka, L. Bican, T. Kepka, P. Němec: Algebra, Academia, Praha, 1990.
Last update: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (02.10.2012)
Aleš Drápal: Teorie grup : základní aspekty, Karolinum, Praha, 2000.
Derek J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer, New York, 1982.
Joseph J. Rotman: An Introduction to the Theory of Groups, Springer, New York, 1995.
M. Hall: The Theory of Groups, Macmillan Company, New York, 1959.
I.Martin: Isaacs, Finite group theory, American Mathematical Society, Providence, 2008.
L. Procházka, L. Bican, T. Kepka, P. Němec: Algebra, Academia, Praha, 1990.
Teaching methods - Czech
Last update: doc. Mgr. Vítězslav Kala, Ph.D. (15.09.2021)
Last update: doc. Mgr. Vítězslav Kala, Ph.D. (15.09.2021)
Students have to pass final oral exam. The requirements for the exam correspond to what has been done during lectures and practicals.
Last update: doc. Mgr. Vítězslav Kala, Ph.D. (15.09.2021)
Zkoušená témata vycházejí z látky probrané na přednášce a cvičeních; důraz bude kladen na zvládnutí teorie a její uplatnění pro počítání příkladů. Zkouška bude ústní.
Syllabus -
Last update: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (02.10.2012)
1. Free base, free groups, reduced words.
2. Defining relations. Examples.
3. Group actions on a set. Actions by translations and conjugations. The kernel of an action.
4. Free product and its reduced words.
5. Cartesian and direct products. Characterization by normal subgroups.
6. Semidirect product and its structural meaning. Examples.
7. Abelian groups - product and coproduct. Finitely generated abelian groups. Cardinality of the basis of a free group.
8. Schreier's transversal and subgroups of a free group.
9. Zassenhaus lemma. Main and composition series.
10. Solvable groups, closeness for factors etc. Description by normal aand subnormal series.
11. Sylow theorems.
12. Upper and lewer central series. Nilpotent groups. Description of finite nilpotent groups.
The simplicity of the alternating groups will be proved in the exercise classes. Characterization of divisible groups is proved when it is not included in the concurrent lecture on module theory.
Last update: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (30.09.2020)
0.Základní pojmy
Grupa homomorfismus, Cayelyho a Lagrangeova věta, normální charakteristické a úplně charakteristické podgrupy. Tranzitivita vlastnosti být (úplně) charakteristickou podgrupou, centrum grupy a grupa vnitřních automorfismů. Věty o izomorfismu.
1. Grupy symetrií
Grupy automorfismů a vnitřních automorfismů grup, jednoduchost A_n, izometrie, grupy O, SO.
2.Součiny grup.
Vnitřní charakterizace direktního součinu. Semidirektní součin a jeho vnitřní charakterizace. Volný součin grup, redukované prvky, univerzální vlastnost volného součinu grup, volná grupa a volná báze. Volné grupy jsou právě volné součiny nekonečných cyklických grup.
3.Sylowovy podgrupy. Působení podgrupy na množině konjugovaných podgrup, normalizátor vlastní podgrupy nilpotentní grupy, Cachyho věta , konečné p-grupy a Sylowovy p-podgrupy. Sylowovy věty.
Charakterizace nilpotentních grup pomocí Sylowových podgrup.
4.Kompoziční řady.
Zassenhausovo lemma, Omega-jednoduché grupy, subnormální a kompoziční řady, izomorfní zjemnění dvou Omega-subnormálních řad, jednoznačnost kompoziční řady: Jordan Hölderova věta.
5.Řešitelné a nilpotentní grupy.
Normalizátor a centralizátor grupy. Horní centrální řada a nilpotentní podgrupy, Komutátor, komutant, derivivaná řada grupy a řešitelné grupy. Charakterizace řešitelnosti pomocí subnormálních řad, nilpotentní grupy jsou řešitelné. Podgrupy a faktorové grupy nilpotentních a řešitelných grup. Působení grupy na množině, centralizátor prvku je stabilizátor akce konjugace, grupa řádu p^n je nilpotentní.
6. Volné grupy.
Konstrukce množiny generátorů podgrupy pomocí transversály, podgrupa konečného indexu konečně generované grupy je konečně generovaná. Schreierova transversála, každá podgrupa volné grupy je volná
7. Abelovské grupy.
Konečně generované abelovské grupy, volné abelovské grupy.
