Completely reducible, artinian, and noetherian rings and modules. Free, projective, and injective modules. The
Krull-Remak-Schmidt Theorem. Introduction to the representation theory of finite dimensional algebras.
A recommended course for specialization Mathematical Structures within General Mathematics.
Last update: G_M (15.05.2012)
Polojednoduché, artinovské a noetherovské okruhy a moduly. Volné, projektivní a injektivní moduly.
Krull-Remak-Schmidtova věta. Úvod do teorie reprezentací algeber.
Určeno pro zaměření Matematické struktury na OM.
Course completion requirements -
Last update: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (28.10.2019)
Active participance in practicals.
Last update: doc. Mgr. Jan Šaroch, Ph.D. (12.10.2017)
Pro udělení zápočtu se vyžaduje aktivní účast na cvičeních. Tím je míněna buď nezanedbatelná participace na řešení problémů přímo na cvičeních, nebo vypracování domácích úkolů, které budu v průběhu cvičení zadávat.
Literature -
Last update: G_M (24.04.2012)
F.W.Anderson, K.R.Fuller: Rings and Categories of Modules, 2nd ed.,Springer, New York, 1992.
D. S. Passman, A Course in Ring Theory, AMS, Providence, 2004.
I. Assem, D. Simson, A. Skowronski, Elements of the Representation Theory of Associative Algebras. Vol. 1, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2006.
Last update: G_M (24.04.2012)
F.W.Anderson, K.R.Fuller: Rings and Categories of Modules, 2nd ed.,Springer, New York, 1992.
D. S. Passman, A Course in Ring Theory, AMS, Providence, 2004.
I. Assem, D. Simson, A. Skowronski, Elements of the Representation Theory of Associative Algebras. Vol. 1, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2006.
Requirements to the exam -
Last update: prof. RNDr. Jan Trlifaj, CSc., DSc. (05.10.2017)
For the exam, knowledge of the topics presented in the course is required (structure of completely reducible rings and modules, Wedderburn-Artin Theorem, artinian and noetherian rings and modules, Hopkins Theorem, modules of finite length, Jordan-Hoelder Theorem, structure of free and projective modules, Kaplansky Theorems, injective modules and their structure over noetherian rings). The exam is oral, ,zapocet' is not required for the exam.
Last update: prof. RNDr. Jan Trlifaj, CSc., DSc. (05.10.2017)
Ke zkoušce se požaduje znalost látky prezentované na přednášce (struktura totálně rozložitelných okruhů a modulů, Wedderburn-Artinova věta, artinovské a noetherovské okruhy a moduly, Hopkinsova věta, moduly konečné délky, Jordan-Hoelderova věta, struktura volných a projektivních modulů, Kaplanského věty, injektivní moduly a jejich struktura nad noetherovskými okruhy). Zkouška je ústní, zápočet není u zkoušky vyžadován.
Syllabus -
Last update: G_M (24.04.2012)
Contents of the Lecture:
Ring theory (Jacobson radical, structure of completely reducible modules and rings, Wedderburn-Artin Theorem. Artinian and noetherian rings and modules, Hopkins Theorem, Hilbert Basis Theorem.)
Module theory (Free and projective modules, Kaplansky theorems. Injective modules, The Baer Criterion, injetive hulls, structure of injective modules over noetherian rings, structure of divisible abelian groups, hereditary rings).
Supplementary topic: Envelopes and covers of modules. Projective and flat covers.
Example class:
Examples. The Krull-Remak-Schmidt Theorem. Elements of the representation theory of finite dimensional algebras (path algebras of quivers, their Jacobson radical and heredity, linear representations of quivers as modules over path algebras).
Last update: G_M (24.04.2012)
Přednáška:
Teorie okruhů (Jacobsonův radikál, struktura polojednoduchých modulů a okruhů, Wedderburn-Artinova věta. Artinovské a noetherovské okruhy a moduly, Hopkinsova věta, Hilbertova věta o bázi.)
Teorie modulů (Volné a projektivní moduly, Kaplanského věty. Injektivní moduly, Baerovo kriterium, injektivní obaly, struktura injektivních modulů nad noetherovskými okruhy, struktura divizibilních komutativních grup, dědičné okruhy).
Rozšiřující téma: Obaly a pokrytí modulů. Projektivní a plochá pokrytí.
Cvičení:
Příklady. Krull-Remak-Schmidtova věta. Základy teorie reprezentací algeber (algebry cest grafů, jejich Jacobsonův radikál, dědičnost algeber cest, lineární reprezentace grafů jako moduly nad algebrami cest)
Entry requirements -
Last update: G_M (24.04.2012)
Knowledge of basics of algebra at the level of Algebra I (NALG026).
Last update: G_M (24.04.2012)
Znalost základů algebry na úrovni přednášky Algebra I (NALG026).
