Dělitelnost je primárně zkoumána v oboru přirozených nebo celých čísel. Má ale dobrý smysl ji zkoumat i obecně v okruzích či (raději) oborech integrity. Nejčastěji uvažované obory integrity jsou struktura Z celých čísel a struktura Q[x] polynomů s racionálními koeficienty v jedné proměnné. V obou těchto oborech integrity navíc platí Bezoutova věta. Vypracujte vlastní verzi teorie dělitelnosti v oborech integrity (okruzích). Kromě dvou klasických českých učebnic od Kořínka a od Procházky vyhledejte i další (novější) zdroje týkající se konstrukce okruhů. Prostudujte relevantní části bakalářské práce Katrin Přikrylové. Uvažujte, jak dělitelnost dopadne v oborech integrity, v nichž Bezoutova věta neplatí, a jak takové obory integrity lze vůbec sestrojit. Věnujte též pozornost jiným dodatečným axiomům, jako je například distributivita násobení vůči největšímu společnému děliteli, a jejich vztahu k Bezoutově větě. Podle vlastní úvahy věnujte pozornost případně i některým z následujících otázek. Jaké byly historické motivy zkoumat tuto problematiku? Co lze říci o algoritmické složitosti některých úloh (dělení se zbytkem, čínská zbytková věta) v okruzích jiných než struktura celých čísel, například v už zmíněném okruhu Q[x]? Změní se něco v teorii dělitelnosti v případě, kdy se podkladovou logikou stane intuicionistická logika?
Seznam odborné literatury
[DF04] David S. Dummit a Richard M. Foote. Abstract algebra. John Wiley and Sons, 2004. [Koř56] Vladimír Kořínek. Základy algebry. Academia, 1956. [Pro90] Ladislav Procházka. Algebra. Academia, 1990. [Při13] Katrin Přikrylová. Pojem ideálu a filtru v algebře a logice. Bakalářská práce, Katedra logiky Filozofické fakulty, Karlova Univerzita v Praze, 2013.
- zadáno a potvrzeno stud. odd.