Congruent numbers, elliptic curves, and L-functions

• Název práce v češtině: Kongruentní čísla, eliptické křivky a L-funkce
• Název v anglickém jazyce: Congruent numbers, elliptic curves, and L-functions
• Klíčová slova: kongruentní čísla|eliptické křivky|Zeta-funkce|L-funkce
• Klíčová slova anglicky: congruent numbers|elliptic curves|Zeta-functions|L-functions
• Akademický rok vypsání: 2023/2024
• Typ práce: bakalářská práce
• Jazyk práce: angličtina
• Ústav: Katedra algebry (32-KA)
• Vedoucí / školitel: doc. Mgr. Vítězslav Kala, Ph.D.
• Řešitel: Jan Kotyk - zadáno a potvrzeno stud. odd.
• Datum přihlášení: 21.02.2024
• Datum zadání: 21.02.2024
• Datum potvrzení stud. oddělením: 21.02.2024
• Konzultanti: Stevan Gajović, Ph.D.

Zásady pro vypracování

It is a well-known problem to classify all congruent numbers, i.e., positive integers n such that there is a right triangle with rational sides and area n. This problem is closely related to the ranks of certain elliptic curves over Q. It is, for example, explained in [Kob]. Also, via the famous Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, the rank of an elliptic curve is equal to an order of vanishing of the L-function of the elliptic curve. The student will very briefly introduce elliptic curves (besides [Kob], using, for example, [Sil], [ST]), with special attention on elliptic curves over finite fields. Then, the student will introduce L-functions of elliptic curves. In conclusion, the student will compute several ranks of elliptic curves and several L-functions and as a consequence determine some congruent and non-congruent numbers.

Seznam odborné literatury

[Kob] Koblitz, N. (1993). Introduction to elliptic curves and modular forms. 2nd ed. Springer (Graduate Texts in Mathematics, 97).
[Sil] Silverman, J. H. (2009). The Arithmetic of Elliptic Curves. 2nd ed. Springer-Verlag.
[ST] Silverman, J. H., Tate, J. T. (2015). Rational Points on Elliptic Curves. Undergraduate Texts in Mathematics. 2nd ed. Cham: Springer.