Vlastnosti algebraických stabilizací pro rovnice konvekce-difúze

• Název práce v češtině: Vlastnosti algebraických stabilizací pro rovnice konvekce-difúze
• Název v anglickém jazyce: Properties of algebraic stabilizations for convection-diffusion equations
• Akademický rok vypsání: 2023/2024
• Typ práce: diplomová práce
• Ústav: Katedra numerické matematiky (32-KNM)
• Vedoucí / školitel: doc. Mgr. Petr Knobloch, Dr., DSc.
• Řešitel: skrytý - zadáno a potvrzeno stud. odd.
• Datum přihlášení: 05.08.2023
• Datum zadání: 06.08.2023
• Datum potvrzení stud. oddělením: 15.08.2023

Zásady pro vypracování

Rovnice konvekce-difúze se vyskytují v řadě modelů různých fyzikálních jevů. Koeficient difúze je často velmi malý ve srovnání s konvekcí, což v mnoha případech vede ke vzniku nefyzikálních oscilací v jejich numerických řešeních. Dochází pak k tomu, že numerická řešení nabývají hodnot, které nejsou pro řešení aproximovaného spojitého problému přípustné. Pokud chceme takovéto situace vyloučit, je nutné používat metody splňující diskrétní princip maxima, viz např. [1]. Zajímavou třídou metod majících tuto vlastnost jsou algebraické stabilizace, které jsou založeny na modifikacích soustavy lineárních rovnic odpovídající Galerkinově diskretizaci uvažované konvektivně-difúzní úlohy. Tyto metody byly v uplynulých letech intenzivně studovány, přičemž byly získány výsledky o řešitelnosti příslušných nelineárních diskrétních problémů, o platnosti různých verzí diskrétního principu maxima i o konvergenci přibližných řešení. Některé otázky však zůstávají stále otevřené. Mezi ně patří otázky platnosti některých vlastností pro bilineární či trilineární konečné prvky (značené Q1), neboť řada výsledků byla dokázána pouze pro lineární konečné prvky. Například není jasné, kdy pro metodu analyzovanou v [2] platí diskrétní princip maxima, pokud ji aplikujeme na Q1 konečné prvky. V případě metody z [3] není jasné, zda a jak lze u Q1 konečných prvků zajistit tzv. linearity preservation. V případě Q1 konečných prvků nejsou navíc na rozdíl od lineárních konečných prvků k dispozici žádné odhady chyb. Otevřené otázky ale zůstávají i v případě lineárních konečných prvků, u nichž teoretické výsledky o odhadech chyb jsou v některých případech výrazně horší než pozorované řády konvergence. Navíc zcela chybí odhady chyb pro anizotropně zjemněné triangulace. V nestacionárním případě je otevřená i stabilita příslušných diskrétních problémů. Cílem diplomové práce je přispět k vyjasnění zmíněných otevřených teoretických otázek, zejména pro Q1 konečné prvky.

Seznam odborné literatury

[1] G.R. Barrenechea, V. John, P. Knobloch: Finite element methods respecting the discrete maximum principle for convection-diffusion equations, arXiv (2022), https://arxiv.org/abs/2204.07480
[2] G.R. Barrenechea, V. John, P. Knobloch: Analysis of algebraic flux correction schemes, SIAM J. Numer. Anal. 54 (2016), 2427-2451
[3] G.R. Barrenechea, V. John, P. Knobloch: An algebraic flux correction scheme satisfying the discrete maximum principle and linearity preservation on general meshes, Math. Models Methods Appl. Sci. 27 (2017), 525-548
[4] P. Knobloch: On the discrete maximum principle for algebraic flux correction schemes with limiters of upwind type, Boundary and Interior Layers, Computational and Asymptotic Methods BAIL 2016 (Z. Huang, M. Stynes, and Z. Zhang, eds.), Lect. Notes Comput. Sci. Eng., vol. 120, Springer, 2017, pp. 129-139
[5] G.R. Barrenechea, V. John, P. Knobloch, R. Rankin: A unified analysis of algebraic flux correction schemes for convection-diffusion equations, SeMA J. 75 (2018), 655-685
[6] V. John, P. Knobloch: On algebraically stabilized schemes for convection-diffusion-reaction problems, Numer. Math. 152 (2022), 553-585
[7] P. Knobloch: An algebraically stabilized method for convection-diffusion-reaction problems with optimal experimental convergence rates on general meshes, Numer. Algorithms (2023), https://doi.org/10.1007/s11075-023-01511-2
[8] A. Jha, V. John, P. Knobloch: Adaptive grids in the context of algebraic stabilizations for convection-diffusion-reaction equations, SIAM J. Sci. Comput. 45 (2023), B564-B589