Propagace šumu v algoritmech kostruujících krylovovské regularizační báze pro řešení inverzních problémů

• Název práce v češtině: Propagace šumu v algoritmech kostruujících krylovovské regularizační báze pro řešení inverzních problémů
• Název v anglickém jazyce: Noise propagation in algorithms constructing krylov regularization bases for the solution of inverse problems
• Klíčová slova: inverzní problém|šum|regularizace|Krylovův prostor|ortogonální polynomy|amplifikační faktor
• Klíčová slova anglicky: inverse problem|noise|regularization|Krylov subspace|orthogonal polynomials|amplification factor
• Akademický rok vypsání: 2022/2023
• Typ práce: diplomová práce
• Jazyk práce: čeština
• Ústav: Katedra numerické matematiky (32-KNM)
• Vedoucí / školitel: doc. RNDr. Iveta Hnětynková, Ph.D.
• Řešitel: skrytý - zadáno a potvrzeno stud. odd.
• Datum přihlášení: 27.02.2023
• Datum zadání: 31.03.2023
• Datum potvrzení stud. oddělením: 12.04.2023
• Datum a čas obhajoby: 07.09.2023 09:00
• Datum odevzdání elektronické podoby: 07.07.2023
• Datum odevzdání tištěné podoby: 24.07.2023
• Datum proběhlé obhajoby: 07.09.2023
• Oponenti: Martin Plešinger

Zásady pro vypracování

Tato práce bude věnována lineárním inverzním problémům kontaminovaným náhodným šumem. Významnou skupinou metod pro jejich řešení jsou regularizační přístupy založené na iterační projekci dat modelu na vhodně zvolený krylovův prostor nízké dimenze. Protože tako konstrukce využívá jen násobení matice modelu s vektory, je výpočetně efektivní i pro data velké dimenze. Je však známo, že s rostoucím počtem iterací dochází k postupné propagaci šumu do projekce, což způsobuje semikonvergenci celého iteračního schématu. Abychom byli schopni konstruovat vhodné zastavovací kritérium, je nutné analyzovat, jak přesně k propagaci šumu dochází. Pro Golub-Kahanovu iterační bidiagonalizaci, tvořící jádro krylovovské metody LSQR, bylo toto studováno již dříve pomocí analýzy chování koeficientů Lanczošových polynomů. Cílem této práce je prostudovat, zda lze obdobnou technikou analyzovat další krylovovské regularizační algoritmy, konkrétně Lanczošovu tridigonalizaci, Arnoldiho proces atd. Na základě výsledků této analýzy pak budou učiněny závěry ohledně amplifikace šumu v konstruovaných aproximacích. Předpokládá se numerická ilustrace výsledků v prostředí MATLAB.

Seznam odborné literatury

M. Hanke: A Taste of Inverse Problems: Basic Theory and Examples, SIAM Titles in Applied Mathematics, 2017.

P. C. Hansen: Discrete: Inverse Problems: Insight and Algorithms, SIAM Fundamentals of Algorithms, 2010.

I. Hnětynková, M. Kubínová, M. Plešinger: Noise representation in residuals of CRAIG, LSQR and LSMR regularization, in Linear Algebra and Its Applications 533, pp. 357-379 (2017)

I. Hnětynková, M. Plešinger, Z. Strakoš: The regularizing effect of the Golub-Kahan iterative bidiagonalization and revealing the noise level in the data, in BIT Numerical Mathematics 49, pp. 669-696 (2009).

J. Chung, S. Gazzola: Computational methods for large-scale inverse problems: a survey on hybrid projection methods, report, 2021.