Topologická klasifikace ve funkcionální analýze
| Název práce v češtině: | Topologická klasifikace ve funkcionální analýze |
|---|---|
| Název v anglickém jazyce: | Topological classification in functional analysis |
| Akademický rok vypsání: | 2024/2025 |
| Typ práce: | diplomová práce |
| Jazyk práce: | |
| Ústav: | Katedra matematické analýzy (32-KMA) |
| Vedoucí / školitel: | doc. Mgr. Marek Cúth, Ph.D. |
| Řešitel: |
| Zásady pro vypracování |
| Student/ka zpracuje některé známé výsledky týkající se topologických klasifikací v teorii Banachových prostorů, případně F-prostorů.
V případě zájmu se student/ka může zamýšlet nad tím, která tvrzení platí i v obecnějším kontextu. |
| Seznam odborné literatury |
| C. Bessaga and A. Pełczynski: Selected topics in infinite-dimensional topology, Polish Scientific Publishers, Warszawa, 1975.
R. Cauty: Un espace métrique linéaire qui n’est pas un rétracte absolu. Fundam. Math. 146(1), 85–99 (1994). M. Fabian, P. Habala, P. Hájek, V. Montesinos, V. Zizler: Banach space theory. The basis for linear and nonlinear analysis. CMS Books in Mathematics/Ouvrages de Mathématiques de la SMC. Springer, New York, 2011. xiv+820 pp. |
| Předběžná náplň práce |
| Pravděpodobně nejslavnější věty týkající se topologické klasifikace Banachových prostorů jsou následující:
Kellerova věta: každá (slabě) kompaktní konvexní podmnožina separabilního nekonečně-dimenzionálního Banachova prostoru je homeomorfní [0,1]^N Andersonova-Kadecova věta: každý separabilní nekonečně-dimenzionální Banachův prostor X je homeomorfní své kouli B_X, sféře S_X a také prostoru R^N Torunczykova věta: každé dva nekonečně-dimenzionální Banachovy prostory stejné hustoty jsou homeomorfní Cautyho věta: existuje separabilní nekonečně-dimenzionální F-prostor (tj. topologický vektorový prostor metrizovatelný uplnou metrikou), který není homeomorfní R^N Je otevřeným problémem, zda platí Andersonova-Kadecova věta pro p-Banachovy prostory, kde p<1 a zda platí Kellerova věta pro F-prostory. Navzdory tomu, že se jedná o naprosto základní otázky, zdá se, že v literatuře neexistuje mnoho pokusů tyto otázky řešit. Cílem práce je, pokusit se pročíst známé relevantní důkazy/protipříklady a v optimistickém případě se ještě zamyslet nad tím, zda by některý z důkazů/příkladů nešel modifikovat tak, aby nám dal nějaké nové informace pro případ p-Banachových prostorů a F-prostorů. |