Pythagorova čísla řádů v číselných tělesech
| Název práce v češtině: | Pythagorova čísla řádů v číselných tělesech |
|---|---|
| Název v anglickém jazyce: | Pythagoras numbers of orders in number fields |
| Klíčová slova: | Pythagorovo číslo, totálně reálné číselné těleso, řád |
| Klíčová slova anglicky: | Pythagoras number, totally real number field, order |
| Akademický rok vypsání: | 2019/2020 |
| Typ práce: | bakalářská práce |
| Jazyk práce: | čeština |
| Ústav: | Katedra algebry (32-KA) |
| Vedoucí / školitel: | doc. Mgr. Vítězslav Kala, Ph.D. |
| Řešitel: | skrytý - zadáno a potvrzeno stud. odd. |
| Datum přihlášení: | 20.12.2019 |
| Datum zadání: | 20.12.2019 |
| Datum potvrzení stud. oddělením: | 11.02.2020 |
| Datum a čas obhajoby: | 15.07.2020 09:00 |
| Datum odevzdání elektronické podoby: | 02.06.2020 |
| Datum odevzdání tištěné podoby: | 04.06.2020 |
| Datum proběhlé obhajoby: | 15.07.2020 |
| Oponenti: | Ing. Jakub Krásenský, Ph.D. |
| Zásady pro vypracování |
| Pythagorovo číslo P(R) okruhu R je nejmenší přirozené číslo n takové, že každý prvek R, který jde vyjádřit jako součet libovolně mnoha čtverců, jde vyjádřit i jako součet n čtverců. P(R) je často konečné (a malé), ale Scharlau [2] dokázal, že pro řády O v totálně reálných číselných tělesech může být P(O) libovolně velké.
Studentka v práci shrne potřebné pojmy týkající se číselných těles a řádů a podrobně zpracuje Scharlauův důkaz včetně případu okruhů celistvých prvků. Dále určí Pythagorova čísla pro některé konkrétní příklady nebo se bude věnovat odhadu P(O) v závislosti na stupni číselného tělesa podle [3]. |
| Seznam odborné literatury |
| [1] Kenneth Ireland and Michael Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer-Verlag (1982)
[2] Rudolf Scharlau, On the Pythagoras number of orders in totally real number fields, J. Reine Angew. Math. 316 (1980), 208-210 [3] V. Kala, P. Yatsyna, Lifting problem for universal quadratic forms, arxiv:1808.02262 [4] L. J. Mordell, The Representation of a Definite Quadratic Form as a Sum of Two Others, Ann. Math. 38 (1937), 751-757 [5] Albert Pfister, Quadratic forms with applications to algebraic geometry and topology, London Math. Soc. Lect. Notes 217 (1995), Cambridge University Press |