Estimation of the pair correlation function of a point process

• Název práce v češtině: Odhady párové korelační funkce bodového procesu
• Název v anglickém jazyce: Estimation of the pair correlation function of a point process
• Klíčová slova: bodový proces, párová korelační funkce, vychýlení, střední čtvercová chyba, jádrový odhad, šířka pásma
• Klíčová slova anglicky: point process, pair correlation function, bias, mean squared error, kernel estimation, bandwidth
• Akademický rok vypsání: 2019/2020
• Typ práce: bakalářská práce
• Jazyk práce: angličtina
• Ústav: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky (32-KPMS)
• Vedoucí / školitel: RNDr. Jiří Dvořák, Ph.D.
• Řešitel: skrytý - zadáno a potvrzeno stud. odd.
• Datum přihlášení: 17.10.2019
• Datum zadání: 17.10.2019
• Datum potvrzení stud. oddělením: 21.11.2019
• Datum a čas obhajoby: 17.09.2020 09:00
• Datum odevzdání elektronické podoby: 30.07.2020
• Datum odevzdání tištěné podoby: 30.07.2020
• Datum proběhlé obhajoby: 17.09.2020
• Oponenti: prof. RNDr. Viktor Beneš, DrSc.

Zásady pro vypracování

Student/ka se seznámí se základy teorie bodových procesů se zaměřením na momentové charakteristiky druhého řádu, zejména tzv. párovou korelační funkci. Pro standardní jádrové odhady párové korelační funkce odvodí jejich vychýlení a rozptyl v závislosti na zvolené šířce pásma. Pro vybrané modely (numericky) spočítá vychýlení a rozptyl (a z nich střední čtvercovou chybu) a bude diskutovat otázku vhodné volby šířky pásma.

Seznam odborné literatury

[1] A. Baddeley, I. Barany, R. Schneider, W. Weil (2006) Stochastic Geometry: Lectures given at the C.I.M.E. Summer School held in Martina Franca, Italy, September 13-18, 2004 (Lecture Notes in Mathematics / C.I.M.E. Foundation Subseries), Springer.

[2] J. Illian, A. Penttinen, H. Stoyan, D. Stoyan (2008) Statistical Analysis and Modelling of Spatial Point Patterns. Wiley, Chichester.

[3] A. Jalilian, R. Waagepetersen (2018) Fast bandwidth selection for estimation of the pair correlation function. Journal of Statistical Computing and Simulation 88 (10), 2001-2011.

Předběžná náplň práce

Bodový proces je model pro náhodnou konfiguraci bodů v rovině či prostoru vyšší dimenze (konkrétně jde o náhodnou lokálně konečnou množinu). Body procesu mohou vykazovat tendence ke shlukování (přitažlivé interakce) nebo regularitě (odpudivé interakce). Jednou z možností, jak typ, sílu a dosah interakcí posuzovat, je využít takzvané párové korelační funkce. Pro odhad párové korelační funkce z pozorovaných dat se obvykle používá jádrový odhad, podobně jako v případě jádrového odhadu hustoty nějakého rozdělení na základě náhodného výběru. Zde je situace komplikovanější tím, že pozorování použitá k odhadu nejsou nezávislá a stejně rozdělená. Pro vlastnosti odhadu je klíčová volba tzv. šířky pásma (bandwidth) která určuje, jak vzdálená pozorování ještě bereme do úvahy. Přestože jsou výsledky v literatuře známé, chceme v této práci sami odvodit vychýlení a rozptyl odhadu v závislosti na použité šířce pásma pomoci Campbellovy věty. Výsledky použijeme k diskusi o vhodné volbě šířky pásma.