Uvažujme problém hledání kořenů polynomů, přičemž polynom je vyjádřen v bázi ortogonálních polynomů (například Čebyševových či Legendreových). Z koeficientů polynomu v dané bázi lze sestavit přidruženou matici a problém výpočtu kořenů polynomu převést na problém výpočtu vlastních čísel matice. Cílem práce je podrobně popsat vztah mezi kořeny polynomu a vlastními čísly přidružené matice, studovat vlastnosti přidružených matic a provést příslušné numerické experimenty v Matlabu.
Seznam odborné literatury
S. Barnett. A companion matrix analogue for orthogonal polynomials. Linear Algebra Appl. 12, 197-208, 1975.
D. Day and L. Romero, Roots of polynomials expressed in terms of orthogonal polynomials. SIAM J. Numer. Anal. 43, 1969-1987, 2005.
V. Noferini and J. Perez. Chebyshev rootfinding via computing eigenvalues of colleague matrices: when is it stable? Math. Comp. 86, 1741-1767, 2017.
N. L. Trefethen, Approximation Theory and Approximation Practice. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, 2013.
Předběžná náplň práce
Uvažujme problém hledání kořenů polynomů. Polynom může být vyjádřen v různých bazích (monomiální, Čebyševově, Legendreově, atd.). Z koeficientů polynomu v dané bázi lze sestavit přidruženou matici. Tato matice se pro konkrétní volby báze nazývá například companion, colleague, či obecně comrade matice. Je to taková matice, že daný polynom je jejím charakteristickým a zároveň minimálním polynomem. Problém výpočtu kořenů polynomu lze tedy převést na problém výpočtu vlastních čísel přidružené matice. Přesnost výpočtu kořenů polynomu poté samozřejmě závisí i na vlastnostech této matice. Cílem práce je podrobně popsat vztah mezi kořeny polynomu a vlastními čísly přidružené matice, studovat vlastnosti přidružených matic a provést příslušné numerické experimenty v Matlabu.
Předběžná náplň práce v anglickém jazyce
Consider the problem of computing the zeros of a polynomial. The polynomial can be given in various bases (monomial, Chebyshev, Legendre, etc.) Using the coefficients of the polynomial in the given basis one can form an associate matrix. Depending on the chosen basis, this matrix is called a companion, a colleague, or, in general, a comrade matrix. The comrade matrix has a special property: The given polynomial is the characteristic and also the minimal polynomial of this matrix. Therefore, the problem of computing roots of a polynomial can be transformed to the problem of computing the eigenvalues of the comrade matrix. The accuracy of computations of the roots of the polynomial depends also on properties of the comrade matrix. The goal of this bachelor thesis is to describe in detail the relation between roots of a polynomial and the eigenvalues of the corresponding comrade matrix, to study properties of comrade matrices, and to perform corresponding numerical experiments using Matlab.
- zadáno a potvrzeno stud. odd.