Sudé triangulace a komutativní grupy

• Název práce v češtině: Sudé triangulace a komutativní grupy
• Název v anglickém jazyce: Even triangulations and commutative groups
• Klíčová slova: latinská záměna, eulerovská triangulace, Abelova grupa
• Klíčová slova anglicky: latin bitrade, eulerian triangulation, abelian group
• Akademický rok vypsání: 2010/2011
• Typ práce: bakalářská práce
• Jazyk práce: čeština
• Ústav: Katedra algebry (32-KA)
• Vedoucí / školitel: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc.
• Řešitel: skrytý - zadáno a potvrzeno stud. odd.
• Datum přihlášení: 21.10.2010
• Datum zadání: 21.10.2010
• Datum a čas obhajoby: 05.09.2012 00:00
• Datum odevzdání elektronické podoby: 03.08.2012
• Datum odevzdání tištěné podoby: 02.08.2012
• Datum proběhlé obhajoby: 05.09.2012
• Oponenti: prof. RNDr. Tomáš Kepka, DrSc.

Zásady pro vypracování

Student stručně přiblíží koncepty latinské záměny a eulerovské triangulace. Dále popíše způsob odvozování konečné abelovské grupy z dané sférické triangulace. Jádro práce bude spočívat v určení konkrétních grup pro toroidální triangulace, jejichž všechny vrcholy maji stupeň šest, případně další přibuzné třídy toroidálních triangulací. (Jde o několik řad různých triangulací s proměnnými parametry). Popis grupy je možné získat bezprostředními úvahami nebo se lze inspirovat výpočty. Typ abelovské grupy je totiž možné z popisu konkrétní triangulace odvodit standardními prostředky počítačové algebry (v zásadě jde o hermitovskou normální formu celočíselných matic). Přímá cesta však může být stejně efektivní, ne-li efektivnější. Vedle vlastních výpočtů bude též vhodné se zabývat charakteristikou konečných abelovských grup, do kterých lze danou homogenní latinskou záměnu vnořit.

Seznam odborné literatury

Cavenagh, Nicholas J.: The theory and application of Latin bitrades: a survey. Math. Slovaca 58 (2008), no. 6, 691-718.

Drápal, Aleš; Griggs, T. S.: Homogeneous toroidal Latin bitrades. Ars Combin. 96 (2010), 343-351.

Cavenagh, Nicholas J.: A uniqueness result for 3-homogeneous Latin trades. Comment. Math. Univ. Carolin. 47 (2006), no. 2, 337-358.

Cavenagh, Nicholas J.: Embedding 3-homogeneous Latin trades into abelian 2-groups. Comment. Math. Univ. Carolin. 45 (2004), no. 2, 191-212.

Grannell, M. J.; Griggs, T. S.; Knor, M.: Biembeddings of symmetric configurations and 3-homogeneous Latin trades. Comment. Math. Univ. Carolin. 49 (2008), no. 3, 411-420.

Uvedené články obsahují množství další literatury. Co se týče algoritmů pro rozpoznání typu abelovské grupy, lze použít

Cohen, Henri: A Course in Computational Algebraic Number Theory, Springer 2000

Předběžná náplň práce

Jde o téma, kde se protíná jednoduchá kombinatorická geometrie s jednoduchou elementární algebrou. To ale neznamená, že je vše jednoduché a průhledné. Právě naopak. V dané oblasti probíhá aktivní výzkum na třech kontinentech. Přestože má bakalářská práce poměrně jednoduché a omezené zadání, její výsledky mohou být pro tento výzkum relevantní. Za rámec vlastní bakalářské práce lze postoupit buď směrem k několika otevřeným problémům kombinatorické algebry a geometrie, nebo směrem k uvažovaným aplikacím v kryptografii (jde o nestandardní kódování velmi velkých čísel, které by mohlo dát vznik novému typu autentifikačního schématu). Pro vlastní bakalářskou práci nejsou třeba žádné speciální znalosti. Pod eulerovskou triangulací si lze představit triangulaci pneumatiky (tedy anuloidu či toru) kde jsou bílé a černé trojúhelníky. Každý bílý trojúhelník sousedí se třemi černými a každý černý se třemi bílými. Vrcholům triangulace se dají jména a tato jména jsou chápána jako generátory abelovské grupy, Pomocí trojůhelníků jsou určeny vztahy, které tuto grupu plně určují.