Systémy rovnic s anizotropním růstem disipativního potenciálu
| Název práce v češtině: | Systémy rovnic s anizotropním růstem disipativního potenciálu |
|---|---|
| Název v anglickém jazyce: | Systems of equations with anizotropic growth of dissipative potential |
| Klíčová slova: | potenciál s anizotropním rùstem, èásteèná a úplná regularita |
| Klíčová slova anglicky: | potential with anisotropic growth, partial and full regularity |
| Akademický rok vypsání: | 2009/2010 |
| Typ práce: | diplomová práce |
| Jazyk práce: | čeština |
| Ústav: | Katedra matematické analýzy (32-KMA) |
| Vedoucí / školitel: | doc. Mgr. Petr Kaplický, Ph.D. |
| Řešitel: | skrytý - zadáno a potvrzeno stud. odd. |
| Datum přihlášení: | 13.11.2009 |
| Datum zadání: | 13.11.2009 |
| Datum a čas obhajoby: | 08.09.2011 00:00 |
| Datum odevzdání elektronické podoby: | 05.08.2011 |
| Datum odevzdání tištěné podoby: | 05.08.2011 |
| Datum proběhlé obhajoby: | 08.09.2011 |
| Oponenti: | prof. Mgr. Milan Pokorný, Ph.D., DSc. |
| Zásady pro vypracování |
| Diplomová práce se bude zabývat systémy stacionárních differenciálních rovnic, které jsou motivovány mechanikou tekutin. Bude se předpokládat, že disipativní potenciál má anisotropní růst.
Nejdříve bude třeba nastudovat existenční teorii pro dané systémy rovnic například podle knihy [1]. Dále se v diplomové práci zpracuje technika z článků [2] a [3], která se zde používá k důkazu (parciální) C^{1,\alpha} regularity slabého řešení. V poslední části bude cílem známé výsledky rozšířit. Specielně, zkusíme použít techniku z článků [2] a [3] na hraniční regularitu slabých řešení. Vodítkem bude článek [4], kde je hraniční regularita dokázaná jinou technikou. |
| Seznam odborné literatury |
| [1] Málek, J.; Nečas, J.; Rokyta, M.; Růžička, M.: Weak and measure-valued solutions to evolutionary PDEs. (English. English summary) Applied Mathematics and Mathematical Computation, 13. Chapman & Hall, London, 1996.
[2] Apushkinskaya, D.; Bildhauer, M.; Fuchs, M.: Steady States of Anisotropic Generalized Newtonian Fluids, J. math. fluid mech. 7 (2005), 261-297. [3] Bildhauer, M. ; Fuchs, M. ; Zhong, X.: On strong solutions of the differential equations modeling the steady flow of certain incompressible generalized Newtonian fluids, Algebra i Analiz 18 (2006), no. 2, 1--23. [4] Kaplický, Petr: Regularity of flow of anisotropic fluid. J. Math. Fluid Mech. 10 (2008), no. 1, 71--88. |
| Předběžná náplň práce |
| Reseni diferencialnich rovnic v klasickem smyslu je nekdy velice obtizne, ne-li primo nemozne. Proto se velice casto pojem reseni zeslabi a ukaze se pouze existence tohoto slabeho reseni, ktere ma horsi vlastnosti nez reseni klasicke. Je prirozene se ptat, jestli se tyto vlastnosti daji vylepsit, da-li se ukazat, ze toto slabe reseni je klasicke. Timto se zabyvat teorie regularit.
Regularita reseni diferencialnich rovnic byla intenzivne zkoumana v minulem stoleti a presto je zde stale mnoho otevrenych problemu. V teto oblasti se kombinuji znalosti z mnoha oboru jako napr. funkcionalni analyzy, teorie funkci atp. Je treba take rici, ze nektere postupy jsou znacne technicky narocne. Ukolem diplomove prace by bylo nastudovat existencni teorii pro urcitou tridu systemu stacionarnich diferencialnich rovnic s anizotropnimi rusty ve 2D podle knihy [1], dale metodu regularit pochazejici of De Giorgi, ktera je pouzita pro tyto rovnice v clanku [2]. Po zvladnuti techto technik je mozne se venovat rozsireni znamych vysledku. Napr. ukazat, ze kazde reseni je C^{1,\alpha}, hranicni regularita, atd. |