Skoro disjunktní zjemnění
| Název práce v češtině: | Skoro disjunktní zjemnění |
|---|---|
| Název v anglickém jazyce: | Almost disjoint refinement |
| Klíčová slova: | úplně separabilní MAD systém, skoro disjunktní zjemnění |
| Klíčová slova anglicky: | completely separable MAD system, almost disjoint refinement |
| Akademický rok vypsání: | 2011/2012 |
| Typ práce: | bakalářská práce |
| Jazyk práce: | čeština |
| Ústav: | Katedra teoretické informatiky a matematické logiky (32-KTIML) |
| Vedoucí / školitel: | prof. RNDr. Petr Simon, DrSc. |
| Řešitel: | skrytý - zadáno a potvrzeno stud. odd. |
| Datum přihlášení: | 03.11.2011 |
| Datum zadání: | 04.11.2011 |
| Datum potvrzení stud. oddělením: | 08.12.2011 |
| Datum a čas obhajoby: | 26.06.2013 00:00 |
| Datum odevzdání elektronické podoby: | 24.05.2013 |
| Datum odevzdání tištěné podoby: | 24.05.2013 |
| Datum proběhlé obhajoby: | 26.06.2013 |
| Oponenti: | prof. RNDr. Miroslav Hušek, DrSc. |
| Zásady pro vypracování |
| Systém podmnožin množiny přirozených čísel se nazývá skoro disjunktní, jsou-li všechny množiny
v systému nekonečné a průnik kterýchkoli dvou je konečný. Pro skoro disjunktní systém, který je maximální při inkluzi, se používá stručné "MAD systém". Velké množiny vůči danému MAD systému jsou všechny množiny, které mají nekonečný průnik s nekonečně mnoha množinami ze systému. Problém, jehož první formulace se datují do let 1972-1976, zní: Je-li dán libovolný MAD systém, existuje pak skoro disjunktní systém B, že každá množina velká vůči danému systému obsahuje jako podmnožinu nějaký prvek systému B? Říkáme, že systém B je skoro disjunktním zjemněním souboru všech množin velkých vůči danému MAD systému. Tento problém je dosud otevřený, avšak jsou známy dodatečné předpoklady o teorii množin, které implikují kladnou odpověď. Všechny tyto předpoklady jsou formulovány jako nerovnosti mezi kardinálními invarianty kontinua. Počátkem roku 2009 zveřejnil S. Shelah preprint, kde dokazuje za předpokladu s menší než a, že existuje MAD systém, který je skoro disjunktním zjemněním souboru svých vlastních velkých množin. Dosud není známo, zda problém o existenci skoro disjunktního zjemnění má řešení i za předpokladu s menší než a, Shelahova konstrukce dává jen jeden MAD systém. Úkolem řešitele je dát řešení původního problému za předpokladu s menší než a, tedy ukázat, že Shelahova důkazová technika má širší uplatnění. |
| Seznam odborné literatury |
| S. Shelah, MAD families and SANE player, arXiv:0904.0816
B. Balcar, P. Simon: Disjoint Refinement, Handbook of Boolean Algebra, ed. by J.D. Monk with R. Bonnet, 333-386 P. Simon, A note on almost disjoint refinement, Acta Univ. Carolinae - Math. et Phys. 37,2 (1996), 89-99 |
| Předběžná náplň práce |
| Cílem práce je dokázat tvrzení o skoro disjunktním zjemnění za předpokladu s menší než a. Tvrzení o skoro disjunktním zjemnění zní: Pro libovolný MAD systém má soubor jeho velkých množin skoro disjunktní zjemnění. Toto tvrzení je již třicet let otevřený problém. |
| Předběžná náplň práce v anglickém jazyce |
| The aim of the thesis is to prove the statement about an almost disjoint refinement under the assumption s less than a. The statement about an almost disjoint refinement reads as follows: For an arbitrary MAD system, the collection of sets which are large with respect to it has an almost disjoint refinement. This statement presents an open problem for more than thirty years.
|