Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic pomocí adaptivních BDF metod

• Název práce v češtině: Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic pomocí adaptivních BDF metod
• Název v anglickém jazyce: Numerical solution of ODEs with the aid of adaptiv BDF methods
• Akademický rok vypsání: 2009/2010
• Typ práce: bakalářská práce
• Jazyk práce: čeština
• Ústav: Katedra numerické matematiky (32-KNM)
• Vedoucí / školitel: prof. RNDr. Vít Dolejší, Ph.D., DSc.
• Řešitel: skrytý - zadáno a potvrzeno stud. odd.
• Datum přihlášení: 10.11.2009
• Datum zadání: 10.11.2009
• Datum a čas obhajoby: 25.06.2010 00:00
• Datum odevzdání elektronické podoby: 25.06.2010
• Datum proběhlé obhajoby: 25.06.2010
• Oponenti: doc. RNDr. Josef Kofroň, CSc.

Zásady pro vypracování

1) nastudování příslušné literatury
2) návrh odhadu lokální chyby disretizace a volby časového kroku
3) implementace a otestování metody pro jednu obyčejnou diferenciální rovnici
4) imlementace metody pro soustavu rovnic v balíku ADGFEM

Pozn. bod 4) je víceméně nepovinný, případně by mohl být základem následující DP.

Seznam odborné literatury

1) V. Dolejší, P. Kůs, Adaptive backward difference formula - discontinuous Galerkin finite element method for the solution of conservation laws, Int. J. Numer. Meth. Engng. 73(12): 1739-1766, 2008
2) E. Hairer, S. P. Norsett, G. Wanner: Solving ordinary differential equations I, Nonstiff problems, Springer Verlag, 2000.
3) E. Hairer, G. Wanner: Solving ordinary differential equations II, Stiff and differential-algebraic problems, Springer Verlag, 2002.

Předběžná náplň práce

Efektivní numerické řešení velkých soustav obyčejných diferenciálních rovnic (ODR) představuje stále otevřenou problematiku. Pro tzv. "stiff" úlohy je vhodné použít implicitní metody (např. BDF (backward difference formula) metody), které mají velkou oblast stability. Velmi důležitým aspektem je volba časového kroku, kde příliš velký časový krok může vést ke ztrátě přesnosti a na druhou stranu příliš krátký časový krok vede ke ztrátě efektivity. Optimální volba časového kroku se provádí pomocí adaptivních metod, které odhadují lokální chybu diskretizace a navrhují nový časový krok. V DP P. Kůsa (obhájená v roce 2006) byla navržena metoda, která odhaduje lokální chybu diskretizace pomocí dvou různých metod stejného řádu přesnosti. Efektivnější přístup, který je náplní této BP, je použití pouze jedné metody, kdy k odhadu chyby poslouží diferenční formule pro aproximaci derivací řešení úlohy.