Problém vlastních čísel symetrických řídkých matic v souvislosti s výpočty elektronových stavů

• Název práce v češtině: Problém vlastních čísel symetrických řídkých matic v souvislosti s výpočty elektronových stavů
• Název v anglickém jazyce: Special eigenvalue problems for symmetric sparse matrices related to electronic structure calculations
• Klíčová slova: DFT, FEM, Lanczosova metoda, rank-n-update, vlastní čísla
• Klíčová slova anglicky: DFT, FEM, Lanczos method, rank-n-update, eigenvalues
• Akademický rok vypsání: 2010/2011
• Typ práce: diplomová práce
• Jazyk práce: čeština
• Ústav: Katedra aplikované matematiky (32-KAM)
• Vedoucí / školitel: prof. Ing. Miroslav Tůma, CSc.
• Řešitel: skrytý - zadáno a potvrzeno stud. odd.
• Datum přihlášení: 15.12.2008
• Datum zadání: 15.12.2010
• Datum potvrzení stud. oddělením: 07.10.2011
• Datum a čas obhajoby: 28.05.2012 10:00
• Datum odevzdání elektronické podoby: 13.04.2012
• Datum odevzdání tištěné podoby: 13.04.2012
• Datum proběhlé obhajoby: 28.05.2012
• Oponenti: Ing. Jiří Plešek, CSc.

Zásady pro vypracování

1) Seznamte se s metodou FEM (Finite-Element Method, metoda konečných prvků).
2) Seznamte se se základními rysy výpočtů elektronových stavů
v rámci DFT (Density Functional Theory) metodou separabilních
ab-initio pseudopotenciálů - z matematického pohledu,
aniž by byly nezbytné znalosti všech fyzikálních souvislostí.
3) Formulujte problém vlastních čísel po diskretizaci stacionární
Schroedingerovy rovnice (v rámci uvedené metody pseudopotenciálu)
metodou konečných prvků. Formulujte, jaké vlastnosti budou mít
vzniklé řídké matice a za jakých podmínek.
4) Porozumějte numerickým metodám řešení nejnižších vlastních čísel
pro tyto typy velkých matic (nejnižší vlastní čísla, odpovídají
obsazeným elektronovým stavům).
5) Porovnejte různé metody z hlediska použitelnosti pro daný problém.
6) Navrhněte nejvhodnější metodu nebo metody pro studované
speciální problémy vlastních čísel. Zabývejte se též vhodnými
způsoby implementace se zvláštním zřetelem k dalšímu pokračování
spolupráce na projektu po skončení diplomové práce.

Seznam odborné literatury

1) C. Kittel: Úvod do fyziky pevných látek, Academia, Praha, 1985
2) W. E. Pickett, Computer Phys. Reports 9, 115 (1989)
3) J. Vackář, A. Šimůnek and M. Hyťha, All-electron pseudopotentials, Physical Review B 58 (1998) 12712
4) J. Vackář and A. Šimůnek, Adaptability and accuracy of all-electron pseudopotentials, Physical Review B 67 (2003) 125113
5) Bathe, K. J.: Finite Element Procedures. Prentice-Hall, New Jersey 1996.
6) Cook, R. D., Malkus, D.S., Plesha, M.E.: Concepts and Applications of Finite Element Analysis. 3rd ed., Wiley, New York 1989.
7) Zienkiewicz, O. C.: The Finite Element Method. 3rd ed., McGraw-Hill, London 1977.
8) Yousef Saad: Iterative Methods for Sparse Linear Systems, SIAM 2000
9) Z. Bai et al.: Templates for the Solution of Algebraic Eigenvalue Problems, SIAM, Philadeplphia PA, 2000
10) Publikace dle doporučení vedoucího a konzultanta

Předběžná náplň práce

Dosavadní ab-initio metody pro výpočty elektronových stavů, totálních energií a vlastností materiálů jsou buď zaměřeny na periodické struktury (v reciprokém prostoru využívají bázových funkcí Blochovského typu) nebo nevyužívají výhod pokročilých forem nelokálních pseudopotenciálů a pro nízkou efektivitu nejsou aplikovatelné na komplikované materiálové struktury. Navrhovaná diplomová práce je součástí projektu zaplňujícího tuto mezeru, zaměřeného na vytvoření nové metody, založené na funkcionálu hustoty, pro výpočty neperiodických systémů. Tato metoda kombinuje stávající metody využívající diskretizaci konečnými prvky a techniku pseudopotenciálů selfkonsistentně reflektujících prostředí (viz např. Vackář, Šimůnek, Physical Review B 67 (2003) 125113).