Spektrální a rezonanční vlastnosti kvantových grafů
| Název práce v češtině: | Spektrální a rezonanční vlastnosti kvantových grafů |
|---|---|
| Název v anglickém jazyce: | Spectral and resonance properties of quantum graph |
| Akademický rok vypsání: | 2006/2007 |
| Typ práce: | diplomová práce |
| Jazyk práce: | čeština |
| Ústav: | Ústav teoretické fyziky (32-UTF) |
| Vedoucí / školitel: | prof. RNDr. Pavel Exner, DrSc. |
| Řešitel: | doc. RNDr. Jiří Lipovský, Ph.D. - zadáno a potvrzeno stud. odd. |
| Datum přihlášení: | 06.12.2006 |
| Datum zadání: | 06.12.2006 |
| Datum a čas obhajoby: | 14.05.2008 00:00 |
| Datum odevzdání elektronické podoby: | 14.05.2008 |
| Datum proběhlé obhajoby: | 14.05.2008 |
| Oponenti: | Mgr. Hynek Kovařík, Ph.D. |
| Zásady pro vypracování |
| Kvantové grafy představují velmi užitečný model nanostruktur a dalších zajímavých fyzikálních systémů.
Diplomantovým úkolem bude seznámit se s existujícími výsledky o spektrech kvantových grafů a rozptylu na nich [1,2]. Vlastním obsahem práce bude řešení některých konkrétních problémů v této oblasti, např. - zjistit, jak závisí spektrální vlastnosti hvězdicových grafů s n hranami na hraničních podmínkách ve vrcholu. Najít topologii spektrální variety a zjistit, jak může v takových systémech vypadat Berryho fáze v analogii s výsledky prací [4,5] pro pro n=2 - najít asymptotické chování periodických grafů při vysokých energiích - vyšetřit rezonance na grafech pocházející z narušení racionálních poměrů mezi délkami hran grafu - užitím duality [3] vyšetřit spektra stromovitých grafů s náhodnými poruchami jako alternativu k metodám užitým v pracech [6,7] Pokud zbyde čas, je možné vyšetřit také spektra kvaziperiodických grafů či pokusit se najít odhady na počet rezonancí v rozptylu na grafech. Více informací o tématu a jeho širších souvislostech lze získat od navrhovatele, případně na jeho webové stránce http://gemma.ujf.cas.cz/~exner. |
| Seznam odborné literatury |
| [1] P. Kuchment: Quantum graphs I. Some basic structures,
Waves in Random Media, 14 (2004), S107-S128 [2] S. Albeverio et al.: Solvable Models in Quantum mechanics, AMS Chelsea, Providence 2005 [3] P. Exner: A duality between Schrödinger operators on graphs and certain Jacobi matrices, Ann. Inst. H. Poincaré: Phys. Théor. 66 (1997), 359-371 [4] P. Exner, H. Grosse: Some properties of the one-dimensional generalized point interactions (a torso), math-ph/9910029 [5] I. Tsutsi, T. Fülöp, T. Cheon: Moebius structure of the spectral space of Schroedinger operators with point interaction, J. Math. Phys. 42 (2001), 5687-5697 [6] M. Aizenman, R. Sims, S. Warzel: Absolutely continuous spectra of quantum tree graphs with weak disorder, Commun. Math. Phys. 264 (2006), 371-389 [7] M. Aizenman, R. Sims, S. Warzel: Stability of the absolutely continuous spectrum of random Schrodinger operators on tree graphs, Probability Theory and Related Fields 136 (2006), 363-394 |
| Předběžná náplň práce |
| Práce je věnována studiu spektrálních a rezonančních vlastností kvantových grafů, konkrétně vlivu hraničních podmínek ve vrcholech, poměrů délky hran a náhodných poruch. |
| Předběžná náplň práce v anglickém jazyce |
| The work is devoted to study of spectral and resonance properties of quantum graphs, specifically to the influence of the boundary conditions at the vertices, edge lengths ratios and random perturbations. |