Convergence properties of algebraic reconstruction methods

• Název práce v češtině: Konvergenční vlastnosti metod algebraické rekonstrukce
• Název v anglickém jazyce: Convergence properties of algebraic reconstruction methods
• Klíčová slova: soustavy lineárních rovnic|lineární aproximační úlohy|iterační metody|asymptotická konvergence|semikonvergence
• Klíčová slova anglicky: linear systems of equations|linear approximation problems|iterative methods|asymptotic convergence|semiconvergence
• Akademický rok vypsání: 2023/2024
• Typ práce: bakalářská práce
• Jazyk práce: angličtina
• Ústav: Katedra numerické matematiky (32-KNM)
• Vedoucí / školitel: doc. RNDr. Iveta Hnětynková, Ph.D.
• Řešitel: Michaela Kotuľová - zadáno a potvrzeno stud. odd.
• Datum přihlášení: 29.11.2023
• Datum zadání: 29.11.2023
• Datum potvrzení stud. oddělením: 29.11.2023

Zásady pro vypracování

Metody algebraické rekonstrukce vycházející z Kaczmarzovy methody představují širokou třídu technik pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic, lineárních aproximačních problémů i ill-posed úloh zatížených neznámým šumem. Jsou implementačně nekomplikované a je možné je rozšířit o vynucení různých dodatečných podmínek na aproximaci řešení (tzv. solution constraints). Proto jsou široce používané v řadě aplikacích. Nevýhodou metod algebraické rekonstrukce je jejich konvergenční chování. Mohou konvergovat pomalu, dosahovat pouze nízké limitní přesnosti. Při řešení ill-posed úloh semikonvergují - v prvních iteracích se norma chyby zmenšuje, avšak poté začne divergovat. V bakalářské práci nejprve řešitel(ka) provede rešerši literatury - shrne vybrané metody ze zadané třídy a popíše jejich vlastnosti. Následně s využitím MATLABu, dostupných toolboxů a případně vlastních implementací experimentálně prověří konvergenční chování na různých úlohách.

Seznam odborné literatury

R. Gordon, R. Bender and GT. Herman: Algebraic reconstruction techniques (ART) for three-dimensional electron microscopy and x-ray photography. Journal of Theoretical Biology. 29 (3): 471–81, 1970

P. C. Hansen and J. S. Jørgensen: AIR Tools II: algebraic iterative reconstruction methods, improved implementation. Numer. Algo., 79 (2018), pp. 107–137.

T. Strohmer and R. Vershynin. A randomized Kaczmarz algorithm with exponential convergence. Journal of Fourier Analysis and Applications, 15 (2009), no. 2, 262–278.