Polomřížky a nerozložitelné prvky

• Název práce v češtině: Polomřížky a nerozložitelné prvky
• Název v anglickém jazyce: Semilattices and indecomposable elements
• Klíčová slova: Polomřížky|nerozložitelné prvky|řetězové zlomky|algebraická teorie čísel|Minkowského prostor
• Klíčová slova anglicky: Semilattices|indecomposable elements|continued fractions|algebraic number theory|Minkowski space
• Akademický rok vypsání: 2022/2023
• Typ práce: diplomová práce
• Jazyk práce: čeština
• Ústav: Katedra algebry (32-KA)
• Vedoucí / školitel: doc. Mgr. Vítězslav Kala, Ph.D.
• Řešitel: skrytý - zadáno a potvrzeno stud. odd.
• Datum přihlášení: 26.05.2023
• Datum zadání: 26.05.2023
• Datum potvrzení stud. oddělením: 13.06.2023
• Datum a čas obhajoby: 07.02.2024 09:00
• Datum odevzdání elektronické podoby: 11.01.2024
• Datum odevzdání tištěné podoby: 11.01.2024
• Datum proběhlé obhajoby: 07.02.2024
• Oponenti: RNDr. Miroslav Korbelář, Ph.D.

Zásady pro vypracování

Cílem práce je zkoumat geometrii polomřížek v n-dimenzionálním prostoru a strukturu jejich nerozložitelných prvků. Student vypracuje jejich základní vlastnosti týkající se nerozložitelných coby generátorů dané polomřížky a odhadu normy nerozložitelných v Minkowského prostoru [2]. Poté se zaměří na dvojrozměrný případ, kde jde nerozložitelné charakterizovat pomocí konvergentů příslušných řetězových zlomků [1]. Dále se bude věnovat asymptotickému rozložení prvků v polomřížkách (a jejich rozdílů), přičemž zobecní výsledky pro n=1 z článku [4], a/nebo dalším úzce souvisejícím tématům, jako je struktura numerických pologrup [3] (tak, aby rozsah a zejména obtížnost výsledného textu odpovídala diplomové práci).

Seznam odborné literatury

[1] DRESS, Andreas, SCHARLAU, Rudolf. Indecomposable totally positive numbers in real quadratic orders. Journal of Number Theory 14 (1982), 292-306.
[2] KALA, Vitezslav, YATSYNA, Pavlo. On Kitaoka’s conjecture and lifting problem for universal quadratic forms. Bulletin of the London Mathematical Society 55 (2023), 854-864.
[3] MOREE, Pieter. Numerical semigroups, cyclotomic polynomials, and Bernoulli numbers. American Mathematical Monthly 121 (2014), 890-902.
[4] TUTAJ, Edward. LikeN’s – a point of view on natural numbers. Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia Mathematica 16 (2017), 95-115.