Borelovsky složité množiny a jejich aplikace
| Název práce v češtině: | Borelovsky složité množiny a jejich aplikace |
|---|---|
| Název v anglickém jazyce: | Sets of high Borel complexity and their applications |
| Akademický rok vypsání: | 2024/2025 |
| Typ práce: | diplomová práce |
| Jazyk práce: | |
| Ústav: | Katedra matematické analýzy (32-KMA) |
| Vedoucí / školitel: | doc. Mgr. Marek Cúth, Ph.D. |
| Řešitel: |
| Zásady pro vypracování |
| Student/ka nastuduje a zpracuje důkazy týkající se množin, jejiž borelovská složitost je odhadnuta zespoda. Dále pak uvede důsledky týkající se složitosti klasifikačních problémů. |
| Seznam odborné literatury |
| [1] M. Cúth, M. Doležal, M. Doucha, O. Kurka: Polish spaces of Banach spaces, Forum Math. Sigma, 10 (2022), Paper No. e26, 28 pp.
[2] M. Cúth, M. Doležal, M. Doucha, O. Kurka: Polish spaces of Banach spaces. Complexity of isometry and isomorphism classes, preprint available at arxiv.org. [3] D. Cenzer, R. D. Mauldin: On the Borel class of the derived set operator. II, Bull. Soc. Math. France, 111 (1983), pp. 367–372. |
| Předběžná náplň práce |
| Nechť X je separabilní nekonečně-dimenzionální Banachův prostor.
V nedávné sérii článků [1, 2] byla zavedena metoda, která umožňuje formalizovat neformální tvrzení, že <X>:={Banachovy prostory izometrické X} je uzavřená/G_delta/F_sigma/Borelovská atd. Je známo, že <X> je vždy Borelovská a je tedy otázkou, jaká je její Borelovská složitost pro různé Banachovy prostory. V článku [2] bylo například dokázáno: - <X> je uzavřená, právě když X = ell_2 (jinými slovy, ell_2 je prostor s nejjenodušší třídou izometrií a žádný jiný Banachův prostor X není možné popsat podobně jednoduchým způsobem) - <L_p> je G_delta a není F_sigma pro každé p\in [1,\infty) - <ell_p> pro p\in[1,\infty) a <c_0> jsou F_{sigma,delta} a nejsou G_{delta,sigma} Cílem práce bude nastudovat metody důkazů jak ukázat, že nějaká množina není jisté Borelovské třídy a v optimistickém připadě pak tyto metody aplikovat pro důkaz toho, že pro jistý Banachův prostor X je Borelovská třída <X> velmi vysoká. Příkladem otevřeného problému je složitost <C(K)> pro K spočetný kompakt (ví se, že existují spočetné kompakty jejichž složitost se zvyšuje, přesné odhady ale známy nejsou). V tomto ohledu je relevantní článek [3], ze kterého se dají odovodit například jisté doposud nepublikované výsledky týkající se složitosti <C([0,\omega^k])> pro k přirozené. |