Group FEM a její vliv na přesnost numerických simulací
| Název práce v češtině: | Group FEM a její vliv na přesnost numerických simulací |
|---|---|
| Název v anglickém jazyce: | Group FEM and its influence on the accuracy of numerical simulations |
| Akademický rok vypsání: | 2024/2025 |
| Typ práce: | bakalářská práce |
| Jazyk práce: | |
| Ústav: | Katedra numerické matematiky (32-KNM) |
| Vedoucí / školitel: | doc. Mgr. Petr Knobloch, Dr., DSc. |
| Řešitel: |
| Zásady pro vypracování |
| Název "Group FEM" by bylo možno přeložit jako "metoda konečných prvků se sdružováním proměnných". Tato metoda, která byla zavedená v [1,2], spočívá v tom, že součiny proměnných (tj. skupiny - groups) jsou nahrazeny jednou novou proměnnou s cílem zjednodušit implementaci nelineárních členů a zvýšit efektivitu výpočtů. Na modelovém příkladu rovnice konvekce-difúze-reakce byl v [3] vyšetřován vliv zmíněné modifikace na řešitelnost diskrétního problému a na chybu konzistence. Tyto výsledky naznačují, že v některých případech může dojít ke zhoršení řádu konvergence. Cílem bakalářské práce je vyšetřit řád konvergence metody v různých případech numericky pomocí vhodných testovacích příkladů.
V případě aplikace Group FEM v rámci metody FEM-FCT pro nestacionární rovnici konvekce-difúze [4,5] se zdá, že mohou být porušeny podmínky pro platnost diskrétního principu maxima formulované v [5], a diskrétní princip maxima tudíž nemusí platit. Dalším cílem bakalářské práce je proto vyšetřit i tuto otázku pomocí vhodných numerických příkladů. V obou případech lze pro provedení výpočtů využít program vedoucího práce v jazyce C, v němž stačí změnit diskretizaci konvektivního členu, která jediná je ovlivněna modifikací podle Group FEM. |
| Seznam odborné literatury |
| [1] C.A.J. Fletcher: A comparison of finite element and finite difference solutions of the one- and two-dimensional Burgers’ equations, J. Comput. Phys. 51 (1983), 159–188
[2] C.A.J. Fletcher, The group finite element formulation, Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 37 (1983), 225–244 [3] G.R. Barrenechea, P. Knobloch: Analysis of a group finite element formulation, Appl. Numer. Math. 118 (2017), 238-248 [4] D. Kuzmin: Algebraic flux correction I. Scalar conservation laws. In: D. Kuzmin, R. Löhner, S. Turek (eds.), Flux-Corrected Transport. Principles, Algorithms, and Applications, 2nd edn., Springer, Dordrecht, 2012, str. 145–192 [5] G.R. Barrenechea, V. John, P. Knobloch: Finite element methods respecting the discrete maximum principle for convection-diffusion equations, arXiv (2022), https://arxiv.org/abs/2204.07480 |