Riešiteľ/ka dokáže Cramérovu-Woldovu vetu, a bude diskutovať jej možné zovšeobecnenia a aplikácie.
Seznam odborné literatury
Lachout, P. (1998). Teorie pravděpodobnosti. Karolinum.
Rényi, A. (1952). On projections of probability distributions. Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 3, 131–142.
Bélisle, C., Massé J.-C., a Ransford, T. (1997). When is a probability measure determined by infinitely many projections? Ann. Probab. 25 (2), 767–786.
Předběžná náplň práce
Cramérova-Woldova veta hovorí, že každú d-rozmernú (borelovskú) pravdepodobnostnú mieru P dokážeme plne charakterizovať P-pravdepodobnosťami všetkých polopriestorov (množín bodov ležiacich na jednu stranu od nejakej nadroviny). Ekvivalentne, rozdelenie d-rozmerného náhodného vektoru X je jednoznačne určené všetkými rozdeleniami projekcií <X,u>, pre u z jednotkovej sféry. Cieľom práce je detailné spracovanie dôkazu tejto dôležitej vety, a diskusia o jej možných zovšeobecneniach. Potrebujeme poznať skutočne všetky projekcie <X,u> pre každé u? Projekcie v koľkých smeroch musíme poznať, aby sme dokázali určiť mieru P, ktorá prideľuje n rôznym bodom pravdepodobnosti 1/n? Ako súvisí Cramérova-Woldova veta s podobnými výsledkami známymi mimo teórie pravdepodobnosti?
Předběžná náplň práce v anglickém jazyce
The Cramér-Wold theorem asserts, that every d-dimensional (Borel) probability measure can be characterized by the P-probabilities of all halfspaces (sets of points lying on one side of a given hyperplane). Equivalently, the distribution of each d-dimensional random vector X is fully described by all distributions of projections <X,u>, for u from the unit sphere. The goal of this thesis is a detailed proof this important theorem, and a discussion on its potential extensions. Do we really need to know all projections <X,u> for each u? Projections in how many directions are necessary to be known to be able determine a measure P, which assigns to n distinct point masses 1/n? How does the Cramér-Wold theorem relate with similar results considered outside of the probability theory?
- zadáno a potvrzeno stud. odd.