Perzistence v přesně řešitelném modelu náhodné procházky
| Název práce v češtině: | Perzistence v přesně řešitelném modelu náhodné procházky |
|---|---|
| Název v anglickém jazyce: | Persistence in an exactly solvable random walk model |
| Klíčová slova: | Ornstein-Uhlenbeckův proces|Doba prvního dosažení|Persistence|Fokker-Planckova rovnice|Gaussovský bílý šum |
| Klíčová slova anglicky: | Ornstein-Uhlenbeck process|First time passage|Persistence|Fokker-Planck equation|Gaussian white noise |
| Akademický rok vypsání: | 2021/2022 |
| Typ práce: | bakalářská práce |
| Jazyk práce: | čeština |
| Ústav: | Katedra fyziky kondenzovaných látek (32-KFKL) |
| Vedoucí / školitel: | doc. RNDr. Tomáš Novotný, Ph.D. |
| Řešitel: | Bc. Jakub Tyle - zadáno a potvrzeno stud. odd. |
| Datum přihlášení: | 28.11.2021 |
| Datum zadání: | 29.11.2021 |
| Datum potvrzení stud. oddělením: | 05.04.2022 |
| Datum a čas obhajoby: | 20.06.2023 09:00 |
| Datum odevzdání elektronické podoby: | 11.05.2023 |
| Datum odevzdání tištěné podoby: | 15.05.2023 |
| Datum proběhlé obhajoby: | 20.06.2023 |
| Oponenti: | RNDr. Artem Ryabov, Ph.D. |
| Zásady pro vypracování |
| Práce je vhodná pro teoreticky zaměřené studenty a provede je archetypálním průběhem teoretického projektu - formulace problému, řešení zjednodušeného modelu, fyzikální interpretace výsledků a jejich případné zobecnění za rámec studovaného modelu. Postup řešení bude probíhat v následujících praktických krocích:
1. Seznámení se s problémem perzistence, studium odborné literatury 2. Formulace zjednodušeného modelu a nalezení přesné integrální rovnice pro pravděpodobnostní hustotu 3. Numerické řešení integrální rovnice a zkoumání jeho závislosti na parametrech modelu 4. Porovnání přesných výsledků s predikcí aproximace nezávislých intervalů (IIA) a idetifikace IIA v jazyce přesné integrální rovnice 5. Interpretace získaných poznatků a jejich případné zobecnění za rámec studovaného modelu (6. Prezentace výsledků ve formě odborného článku) |
| Seznam odborné literatury |
| [1] Alan J. Bray, Satya N. Majumdar, and G. Schehr, Persistence and First-Passage Properties in Non-equilibrium Systems, Advances in Physics, Volume 62, No.3, pp 225-361 (2013); http://arxiv.org/abs/1304.1195
[2] Sidney Redner, A Guide to First-Passage Processes, Cambridge University Press (2001) [3] Joachim Krug, Records in a changing world, J. Stat. Mech. (2007) P07001; http://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-5468/2007/07/P07001/meta [4] M. Deforet, V. Hakim, H.G. Yevick, G. Duclos, and P. Silberzan, Emergence of collective modes and tri-dimensional structures from epithelial confinement, Nature Communications 5, 3747 (2014); http://www.nature.com/ncomms/2014/140506/ncomms4747/full/ncomms4747.html , https://www.youtube.com/watch?v=poAHNuCQ_7I [5] Markus Nyberg, Tobias Ambjörnsson, and Ludvig Lizana, A simple method to calculate first-passage time densities of non-smooth processes, arXiv:1503.08072 (2015); http://arxiv.org/abs/1503.08072 |
| Předběžná náplň práce |
| Teorie perzistence, která je součástí stochastického kalkulu, studuje přežití (tj. perzistenci) struktur v obecně nerovnovážných systémech, jejichž dynamika je ovlivněna šumem [1]. Příkladem může být růst, agregace a zánik částic (ať již fyzikálních či biologických - bakterie) na površích nebo doba pohybu částice pohybující se náhodně v jedné dimenzi v daném směru. Matematicky je perzistence vztažena k teorii času prvního dosažení ("first passage time") [2] a teorii extrémů a rekordů [3], fyzikálně pak nachází široké uplatnění v rozličných problémech nerovnovážné statistické fyziky (např. fyzika povrchů, biofyzika apod.). Ačkoliv je navržené téma původně motivováno motilitou vícebuněčných organismů [4], jde o obecný matematický problém s hlubším přesahem do teorie perzistence.
Projekt studuje perzistenci rychlosti částice s jednoduchou lineární dynamikou (Ornstein-Uhlenbeckův proces) pod vlivem barevného šumu modelovaného opět jako OU proces. Pro tento model lze napsat přesnou integrální rovnici pro pravděpodobnostní hustotu, jejíž numerické řešení bude porovnáno s velmi populární a také nesmírně úspěšnou aproximací nezávislých intervalů ("independent interval approximation") [1, Sec. 8; 5]. Na základě tohoto srovnání bude interpretována míra platnosti IIA a detailně identifikováno její jádro ve studovaném modelovém systému. Získané porozumění pak bude použito k zobecnění statutu IIA za rámec studovaného zjednodušeného modelu. |