Fragmenty intuicionistické logiky, intermediárích logik a substrukturálních logik (vybrané otázky).

• Název práce v češtině: Fragmenty intuicionistické logiky, intermediárích logik a substrukturálních logik (vybrané otázky).
• Název v anglickém jazyce: Fragments of intuitionistic logic, intermediate logics and substructural logics (selected problems).
• Klíčová slova: substrukturální logiky|rámce|pozitivní formule|top model|slabý zákon vyloučeného třetího
• Klíčová slova anglicky: substructural logics|frames|positive formulas|top model|weak excluded middle axiom
• Akademický rok vypsání: 2016/2017
• Typ práce: diplomová práce
• Jazyk práce: čeština
• Ústav: Katedra logiky (21-KLOG)
• Vedoucí / školitel: Mgr. Marta Bílková, Ph.D.
• Řešitel: skrytý - zadáno a potvrzeno stud. odd.
• Datum přihlášení: 05.12.2016
• Datum zadání: 05.12.2016
• Schválení administrátorem: zatím neschvalováno
• Datum potvrzení stud. oddělením: 07.12.2016
• Datum a čas obhajoby: 06.02.2018 09:00
• Datum odevzdání elektronické podoby: 05.01.2018
• Datum proběhlé obhajoby: 06.02.2018
• Odevzdaná/finalizovaná: odevzdaná studentem a finalizovaná
• Oponenti: Mgr. Igor Sedlár

Zásady pro vypracování

Práce se bude zabývat intuicionistickou výrokovou logikou a jejími rozšířeními, a substrukturálními výrokovými logikami - rozšířeními Full-Lambekovy logiky FL. Pro účely této práce budeme logikou rozumět zpravidla množinu teorémů, fragmentem logiky pak její restrikci na formule v jazyce s podmnožinou množiny výrokových spojek (nebudeme se zabývat fragmenty danými omezením mohutnosti množiny atomů). Soustředíme se zejména na pozitivní fragmenty, fragmenty bez disjunkce a negačně-implikační fragmenty, a to na otázky, kdy je daný fragment dvou různých logik stejný. Prvním úkolem práce bude nastudovat Jankovův výsledek, týkající se Jankovovy logiky KC - rozšíření intuicionistické logiky IL o slabý zákon vyloučeného třetího. Jankov [1] ukázal, že KC je konzervativnínad pozitivním fragmentem IL (důkaz lze nalézt v [2]), jinými slovy, že pozitivní fragment KC a IL je tentýž, a že KC je nejsilnější takovou intermediární logikou. Jankovova věta [1] přesněji říká, že svaz axiomatických rozšíření pozitivního fragmentu IL je isomorfní spodsvazem [KC,CL] intermediárních logik mezi KC a klasickou logikou. Důkaz pomocí kripkovské sémantiky je možné nalézt v [3,4]. Věta má díky korespondenci mezi axiomatickými rozšířeními IL a podvarietami Heytingových algeber i algebraickou formulaci: svaz podvariet Browerových algeber je isomorfní intervalu [BA,KC] ve svazu podvariet Heytingových algeber. V této formulaci byl výsledek N. Galatosem [5] zobecněn na substrukturální logiku FL_ew na místě intuicionistické logiky. Otázka: platí podobný výsledek pro distributivní substrukturální logiky, a je možné nalézt jeho jednodušší důkaz pomocí relační sémantiky, jak je definována např. v [6], což by zobecnilo důkaz Jankovova výsledku v [4]?
Druhým tématem jsou fragmenty bez disjunkce. Je známo (viz. Hosoi-Ono problém), že intermediární logiky s vlastností disjunkce mají stejný fragment bez disjunkce jako intuicionistická logika. Plná charakteristika takových intermediárních logik byla ukázána Minarim v [7], jiný důkaz lze nalézt v [8]. Otázka: platí podobný výsledek pro (některé) substrukturální logiky? Třetím tématem jsou negačně-implikační fragmenty intermediárních logik. Označme (L-) negačně-implikační fragment logiky L. Uvažujme axiomatické rozšíření IL o množinu axiomů X. Otázka (P. Cintula): Kdy je (IL+X)- totožná s(IL-)+X? Kromě toho je zajímavá i otázka, které intermediární logiky mají stejný negačně-implikační fragment jako IL. Konečná podoba obsahu diplomové práce bude záviset na průběhu prací, nepředpokládá se, že pokryje všechny tři body uvedené výše. Pokud se např. v některém z nich podaří naplnit rozsah diplomové práce, mohou se ostatní body pominout. Předpokládám, že se student pokusí dosáhnout v práci dílčích vlastních výsledků. Pokud se to nepodaří (zejména u dvou posledních témat, která považuji za obtížná), bude náplní textu srozumitelný výklad stávajících výsledků.

Seznam odborné literatury

[1] V. A. Jankov. Calculus of the Weak Law of the Excluded Middle (In Russian). Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 32(5):1044–1051, 1968.
[2] A.V. Chagrov and M. Zakharyaschev. Modal Logic. Oxford Logic Guides. Clarendon Press, 1997.
[3] A. Tzimoulis and Z. Zhao. The Universal Model for the Negation-free Fragment of IPC. Technical Notes (X) Series X-2013-01, ILLC, University of Amsterdam, 2013.
[4] Dick de Jongh, Zhiguang Zhao, Positive Formulas in Intuitionistic and Minimal Logic, report PP-2014-06, ILLC, 2014.
[5] Nick Galatos, Generalized ordinal sums and translations, Logic Jnl IGPL (2011) 19 (3): 455-466.
[6] Greg Restall, An Introduction to Substructural Logics, Routledge, 2000.
[7] P. Minari, Intermediate logics with the same disjunctionless fragment as intuitionistic logic, Studia Logica 45(2), pp 207-222, 1986.
[8] M. Zakharyashev, A New Solution to a Problem of Hosoi and Ono, NDJFL 35(3), pp. 450-457, 1994.