Student se seznámí s některými základními výsledky o semiautomorfismech. Ve spolupráci s vedoucím práce pak vybere téma, které by buď popisovalo nějakou novou třídu semiautomorfismů, nebo reprodukovalo již dosažené známé výsledky.
Seznam odborné literatury
Herstein, I. N.: Semi-homomorphisms of groups, Canad. J. Math. 20 (1968), 384–388
Herstein, I. N.a Ruchte, M. F.: Semi-automorphisms of groups, Proc. Amer. Math. Soc. 9 (1958), 145–150
další literatura bude doplněna poté, co bude téma upřesněno v souladu se zájmy studenta
Předběžná náplň práce
Semiautomorfismus grupy G je každá permutace f množiny G taková, že pro všechny prvky grupy G platí f(xyx)=f(x)f(y)f(x). Struktura semiautomorfismů je velmi proměnlivá. Například, je-li G komutativní lichého řádu, tak semiautomorfismy jsou totéž co automorfismy. Je-li však G komutativní a taková, že každý prvek je řádu nejvýše dva, tak semiautomorfismy jsou všechy permutace, které splňují f(1) = 1. Pro velikou třídu grup (která zahrnuje například symetrické grupy) platí, že množina semiautomorfismů je sjednocením množin automorfismů a antiautomorfismů (to je podmínka f(xy) = f(y)f(x)). Pro nekomutativní grupy řádu mocniny lichého prvočísla však existují semiautomorfismy, které nejsou ani automorfismy ani antiautomorfismy. Jejich klasifikace v mnoha případech, kdy jde třeba i o grupy s poměrně průhlednou strukturou, neznámá. Bylo by dobré, aby případný zájemce navštěvoval základní kurs z teorie grup. I když v seznamu literatury jsou uvedeny pouze články staršího data, jde o téma aktuální. Aktuálnost je dána využitím semiautomorfismů v teorii moufangovských lup, kde je několik pozoruhodných nových výsledků. Ty však v navrhované bakalářské práci pojednávány nebudou.
