Fractal Dimension and Efficient Markets

• Název práce v češtině: Fraktální dimenze a tržní efektivita
• Název v anglickém jazyce: Fractal Dimension and Efficient Markets
• Klíčová slova: efektivní trhy, fraktální dimenze, Monte Carlo simulace
• Klíčová slova anglicky: efficient markets, fractal dimension, Monte Carlo simulation
• Akademický rok vypsání: 2012/2013
• Typ práce: diplomová práce
• Jazyk práce: angličtina
• Ústav: Institut ekonomických studií (23-IES)
• Vedoucí / školitel: prof. PhDr. Ladislav Krištoufek, Ph.D.
• Řešitel: skrytý - zadáno vedoucím/školitelem
• Datum přihlášení: 03.06.2013
• Datum zadání: 03.06.2013
• Datum a čas obhajoby: 25.06.2014 00:00
• Místo konání obhajoby: ies
• Datum odevzdání elektronické podoby: 14.05.2014
• Datum proběhlé obhajoby: 25.06.2014
• Oponenti: prof. RNDr. Jan Ámos Víšek, CSc.

Seznam odborné literatury

Dickinson, J. P. & Muragu, K. (1994), Market efficiency in developing countries: a case study of the Nairobi stock exchange, Journal of Business Finance & Accounting, Vol. 21, No.1, pp. 133 - 150.
Falconer, K. J. (1990), Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, Wiley, New York.
Fama, E. (1970), Efficient capital markets: a review of theory and empirical work, Journal of Finance 25, pp. 383–417.
Gneiting, T., Ševčíková, H., & Percival, D. B. (2012). Estimators of fractal dimension: Assessing the roughness of time series and spatial data. Statistical Science, 27(2), 247-277.
Kima, J. H. & Shamsuddinb, A. (2008), Are Asian stock markets efficient? Evidence from new multiple variance ratio tests, Journal of Empirical Finance, Vol. 15, No.3, pp. 518-532.
Kristoufek, L., & Vosvrda, M. (2013). Measuring capital market efficiency: Global and local correlations structure. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, Vol. 392, pp. 184-193.
Mandelbrot, B. (1982), The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman Press.

Předběžná náplň práce

Diplomová práce bude zkoumat vypovídací schopnost fraktální dimenze časové řady v kontextu efektivních trhů (1). Budeme ověřovat hypotézu, že fraktální dimenze je schopna zaznamenat jak krátkodobou, tak dlouhodobou odchylku řady od předpokladů efektivních trhů a zároveň tuto odchylku ohodnotit. K testování využijeme simulaci efektivních finančních řad a finančních řad, které se odchylují od teorie efektivních trhů. Rozsah odchýlení se se bude u jednotlivých nasimulovaných časových řad lišit. Následně odhadneme fraktální dimenzi jednotlivých řad a porovnáme je. Pokud bude vypovídající schopnost fraktální dimenze potvrzena, poskytneme hodnocení efektivnosti reálných trhů pro některé reálné indexy.

Mnoho akademiků věří, že platí slabá forma efektivních trhů, což znamená, že ceny akcií jsou martingalem a vzhledem k minulým hodnotám cen a výnosům je současná cena nejlepší předpovědí budoucí ceny, očekávaný výnos je nula a investoři nemohou porazit trh pomocí technické analýzy. Žebříček skutečných akciových indexů podle stupně efektivnosti bude užitečný pro investory, protože na rozdíl od efektivních trhu na neefektivních trzích lze získat mimořádné výnosy.

Fraktální dimenze měřící hrubost nabývá pro n-rozměrný prostor hodnot [n, n+1). Rovná přímka má dimenzi 1 a rovná plocha 2. Jakou dimenzi má pak nepravidelný index s mnoha špičatými vrcholy? Dimenze takovéto řady nabývá hodnot mezi 1 a 2. Fraktální dimenze náhodného procesu je 1.5 (Krištoufek & Vošvrda 2013). Nálada na trhu se projevuje skrz krátkodobé trendy, což řadu lokálně „vyhlazuje“, proto by měla být fraktální dimenze řady s krátkodobou závislostí menší než 1.5. Podobně krátkodobý vzrůst volatility zvyšuje hodnotu fraktální dimenze nad 1.5.

Hypotéze efektivních trhů byla mnohokrát zkoumána s rozdílnými výsledky (např. Kima & Shamsuddinb 2008, Dickinson & Muragu 1994). K testování se nejčastěji používá test autokorelace, který identifikuje dlouhodobou časovou závislost v datech, což je v rozporu s hypotézou efektivního trhu. Krátkodobé odchylky od martingalu však autokorelačním testem nejsou zachyceny. Dále autokorelační test umožňuje pouze odpověď typu zamítáme/nezamítáme nulovou hypotézu efektivních trhů, ale není možné pomocí nich sestavit žebříček indexů dle stupně efektivnosti.

Náš výzkum bude probíhat následovně, nejprve nasimulujeme časové řady odpovídající teorii efektivních trhů a vložíme do ní krátké neefektivní intervaly. K simulaci použijeme program R project. Poté odhadneme fraktální dimenzi těchto řad. Existuje mnoho způsobů, jak odhadnout fraktální dimenzi (Box-Count, Periodogram, DCT-II, Hall-Wood, Variogram, etc.). Gneiting a spol. (2010) provedl rozsáhlý výzkum ohledně kvality jednotlivých způsobů odhadování a pro odhad fraktální dimenze doporučuje použit madogram. Při odhadování fraktální dimenze využijeme poznatků Gneitinga.

Jelikož se rozsah neefektivních částí v jednotlivých časových řadách bude rozdílný, fraktální dimenze by tyto rozdíly měla postihnout a lišit se řadu od řady v závislosti na rozsahu neefektivní části řady. Pokud se ukáže, že je fraktální dimenze schopna rozlišit stupně neefektivnosti, odhadneme fraktální dimenze některých reálných indexů. Jejich hodnoty fraktální dimenze nám pak umožní sestavit žebříček indexů dle stupně efektivnosti (2).

Pokud víme, tak neexistují jiné práce, které by zkoumaly schopnost fraktální dimenze v kontextu efektivních trhů. Navíc, fraktální dimenze jako měřítko efektivnosti je použita pouze v několika málo studiích (např. Krištoufek & Vošvrda 2013).


(1) Budeme předpokládat, že procesy na efektivním trhu jsou martingalem, což nevyžaduje předpoklad o lokální stacionaritě časové řady. Budeme se soustředit na slabou formu efektivních trhů.
(2) Studie efektivnosti trhů naznačují, že rozvinuté trhu jsou více efektivní než rozvíjející se trhy. (Ali, S., Naseem, M. A., & Sultana, N. (2013). Testing Random Walk and Weak Form Efficiency Hypotheses: Empirical Evidence from SAARC Region.)

Předběžná náplň práce v anglickém jazyce

The thesis will examine explanatory power of time series’ fractal dimension in context of efficient markets (1). Our hypothesis is that fractal dimension can capture both short and long term deviations of time series from market efficiency conditions and evaluate size of the deviation. This hypothesis will be tested through simulation of efficient financial time series and time series with various deviations from efficiency and measurement of their fractal dimensions. If the power of fractal dimension is proved, we provide a market efficiency ranking of real stock indexes.

Many academics believe that the weak form of the efficient market hypothesis holds meaning that stock price follows martingales and given all pieces of information about past prices and returns, the best predictor of a future price is the current price, the expected return is zero and investors cannot beat the market using technical analysis. Ranking of real stock indexes according to level of market efficiency may be useful for investors, because it is possible to make abnormal returns on inefficient markets in contrary to efficient markets.

The fractal dimension measures roughness of n-dimensional sphere and takes values [n, n+1) for hyperplane Rn+1. A straight line dimension is 1 and a dimension of a flat surface is 2. What is a dimension of an irregular rough index? It should be somewhere between 1 and 2. The fractal dimension of a random series is equal to 1.5 (Kristoufek & Vosvrda 2013). Market mood is reflected in short-term trends and makes the time series locally smoother. Hence, fractal dimension is lower than 1.5. Analogically, a short term increase in volatility increases fractal dimension.

The hypothesis of market efficiency has been widely tested with miscellaneous results (e.g. Kima & Shamsuddinb 2008, Dickinson & Muragu 1994). The most widely used test of market efficiency is autocorrelation test which identifies possible long time dependencies in the series and therefore a violation of the market efficiency. However, short term deviation from martingale is not captured by the autocorrelation test. Further, the autocorrelation test either rejects or does not reject the null hypothesis of market efficiency, but ranking of stock indexes according to their level of efficiency is hardly seen.

At first, we will simulate time series corresponding to the efficient market hypothesis and insert some short phases of inefficiency. The simulation of various time series will be done in R project. Then the fractal dimension value for the series will be determined. There are many ways how to estimate fractal dimension (Box-Count, Periodogram, DCT-II, Hall-Wood, Variogram, etc.). Gneiting et al. (2010) make an extensive research on quality of these estimators and recommends using madogram for fractal dimension estimation. While estimating the fractal dimension we will utilize the findings of Gneiting.

As the size of inserted inefficiencies differ across the simulated time series, their fractal dimensions capturing the level of inefficiency should vary. If the fractal dimension’s power of capturing the inefficiency will be proved, we measure the fractal dimension of some real stock indexes. The values will enable us to rank individual markets according to their efficiency (2).

This approach is innovative and as far as we know, there are no other studies examining the power of fractal dimension to capture efficiency of markets. Finally, fractal dimension as a measurement of market efficiency is used only in a few studies (e.g. Kristoufek & Vosvrda 2013).

(1) We understand the market efficiency in the martingale sense, which does not assumes the series to be locally stationary. We focus on the weak form of market efficiency.
(2) Market efficiency studies imply that developed markets are more efficient that emerging markets. (Ali, S., Naseem, M. A., & Sultana, N. (2013). Testing Random Walk and Weak Form Efficiency Hypotheses: Empirical Evidence from SAARC Region.)