Diferenciální operátory a jejich homologické aspekty

• Název práce v češtině: Diferenciální operátory a jejich homologické aspekty
• Název v anglickém jazyce: Differential operators and their homological beahviour
• Klíčová slova: K-teorie, C^*-algebry, Fourierova-Satoova transformace, věty o indexu
• Klíčová slova anglicky: K-theory, C^*-algebras, Fourier-Sato transform, index theorems
• Akademický rok vypsání: 2013/2014
• Typ práce: disertační práce
• Jazyk práce: čeština
• Ústav: Matematický ústav UK (32-MUUK)
• Vedoucí / školitel: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D.
• Řešitel: skrytý - zadáno a potvrzeno stud. odd.
• Datum přihlášení: 27.09.2013
• Datum zadání: 27.09.2013
• Datum potvrzení stud. oddělením: 22.01.2014

Zásady pro vypracování

Autor se seznámí s výsledky K-teorie pro případ reálných a komplexních bandlů nad varietami, zejména s její aplikací na věty o indexu pro eliptické operátory, a s pojmy a výsledky analytické K-teorie, zejména K-grup nekomutativních algeber. Tyto výsledky bude je aplikovat v diferenciální geometr ii Hilbertových bandlů a teorii reprezentací Lieových grup. Přesahy směrem ke statistické fyzice či kvantové teorii pole a klasické diferenciální a algebraické geometrii by měly patřit mezi motivační zdroje.

Seznam odborné literatury

[1] Borel, Wallach, Continuous Cohomology
[2] Bump, L-functions and Representation theory
[3] Connes, A., Non-commutative geometry,
[4] Dixmier, J., C^*-algebras and their representations,
[5] Higson,
[6] Manuilov, Troitsky, Hilbert modules
[7] McDuff, Salamon, Symplectic topology
[8] Solovyov, Troitsky, Elliptic operators in C^*-bundles
[9] Voisin, C.,
[10] Weibel, Ch., Introduction to Homological Algebra
[11] Weil, A., Sur certain groups des operateurs unitaires, Advances
[12] Wells, R., Analysis on complex manifolds, Springer

Předběžná náplň práce

K-teorie nabízí možnost dokazování vět o indexu eliptických diferenciálních operátorů, tj. souvislosti indexu diferenciálního operátoru
a homologie podkladové kompaktní variety. Zdá se, že v mnoha aplikacích ve fyzice je nutné používat nejen bandly konečného ranku, ale i
Banachovy bandly. Pokud je Banachův bandl vybaven dodatečnou strukturou a je tzv. Hilbertovým bandlem nad C*-algebrou a pokud je
nad ní konečně generovaný a projektivní, je možné dokázat Miščenkovu větu o indexu, zobecňující Atiyahovu-Singerovu větu. Důsledky této věty budou zkoumány.

Předběžná náplň práce v anglickém jazyce

The K-theory gives a possibility for proving index theorems for differential operators, i.e., connections of the index of a differential operator and the homology of the underlying compact manifold. In applications in Physics, the use of infinite rank bundles seems to be unavoidable. Banach bundles are often used instead.If the Banach bundle is a finitely generated projective Hilbert C^*-bundle, it is possible to prove the so-called Mishchenko index theorems, which generalizes the Atiyah-Singer theorem. Consequences of this theorem will be investigated.