Properties of mappings of finite distortion

• Název práce v češtině: Vlastnosti zobrazení s konečnou distorzí
• Název v anglickém jazyce: Properties of mappings of finite distortion
• Klíčová slova: Zobrazení s konečnou distorzí, otevřenost a diskrétnost
• Klíčová slova anglicky: Mapping of finite distortion, openess and disreteness
• Akademický rok vypsání: 2012/2013
• Typ práce: disertační práce
• Jazyk práce: angličtina
• Ústav: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
• Vedoucí / školitel: prof. RNDr. Stanislav Hencl, Ph.D.
• Řešitel: skrytý - zadáno a potvrzeno stud. odd.
• Datum přihlášení: 27.09.2013
• Datum zadání: 27.09.2013
• Datum potvrzení stud. oddělením: 05.02.2014
• Datum a čas obhajoby: 23.06.2017 09:00
• Datum odevzdání elektronické podoby: 07.03.2017
• Datum odevzdání tištěné podoby: 31.01.2017
• Datum proběhlé obhajoby: 23.06.2017
• Oponenti: Prof. Pekka Koskela

Zásady pro vypracování

Řekneme, že zobrazení f z euklidovského prostoru R^n do R^n má konečnou vnější (respektive vnitřní) distorzi, pokud je jeho jakobián nezáporný a navíc je |Df| nulový (respektive |adj Df| je nulový) skoro všude na množině, kde je jakobián nulový. Zde Df značí matici derivací f, jakobián je determinant této matice a adj Df je příslušná adjungovaná matice.

Studium zobrazení s konečnou distorzí je částečně motivováno teorií nelineární elasticity a zdá se,
že některé takovéto nelineární třídy zobrazení by mohly dobře sloužit jako třídy příslušných deformací.
Hlavním cílem teorie zobrazení s konečnou distorzí je nalezení co nejslabších podmínek, za kterých je zobrazení spojité, diferencovatelné, invertovatelné a zobrazuje množiny nulové míry na množiny nulové míry.

Cílem této práce je zkoumat otevřenost a diskrétnost zobrazení s konečnou distorzí, tedy kdy existuje rozumná inverze. Jedním z cílů může být ucelené sepsání známých výsledků.

Je poměrně dobře známo, kdy může zobrazení v prostoru zdeformovat úsečku do jednoho bodu. Student by mohl v práci nalézt optimální podmínky, kdy lze dvourozměrný čtverec v prostoru zdeformovat do jednoho bodu.
Dále je možné v práci nalézt lepší výsledky na třídě Orliczových prostorů. Problém otevřenosti a diskrétnosti je dále možné zkoumat na širší třídě zobrazení s konečnou q-distorzí, která je fundamentální při zkoumání Sobolevovské regularity složeného zobrazení.

Seznam odborné literatury

Iwaniec T., Martin G.: Geometric function theory and nonlinear analysis, Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press, Oxford 2001.

Stanislav Hencl, Pekka Koskela: Mappings of finite distortion: Discreteness and openness for quasi-light mappings, Ann. Inst. H. Poincar\'e Anal. Non Lin\'eaire. 22 no.3 (2005), 331--342.

Bjorn J.: Mappings with dilatation in Orlicz spaces, Collect. Math. 53 (2002), no. 3, 303--311.

Onninen J., Zhong X: Mappings of finite distortion: A new proof for discreteness and openness, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A. 138A no.5 (2008), 1097--1102.

Předběžná náplň práce

Řekneme, že zobrazení f z euklidovského prostoru R^n do R^n má konečnou vnější (respektive vnitřní) distorzi, pokud je jeho jakobián nezáporný a navíc je |Df| nulový (respektive |adj Df| je nulový) skoro všude na množině, kde je jakobián nulový. Zde Df značí matici derivací f, jakobián je determinant této matice a adj Df je příslušná adjungovaná matice.

Studium zobrazení s konečnou distorzí je částečně motivováno teorií nelineární elasticity a zdá se,
že některé takovéto nelineární třídy zobrazení by mohly dobře sloužit jako třídy příslušných deformací.
Hlavním cílem teorie zobrazení s konečnou distorzí je nalezení co nejslabších podmínek, za kterých je zobrazení spojité, diferencovatelné, invertovatelné a zobrazuje množiny nulové míry na množiny nulové míry.

Cílem této práce je zkoumat otevřenost a diskrétnost zobrazení s konečnou distorzí, tedy kdy existuje rozumná inverze. Jedním z cílů může být ucelené sepsání známých výsledků.

Je poměrně dobře známo, kdy může zobrazení v prostoru zdeformovat úsečku do jednoho bodu. Student by mohl v práci nalézt optimální podmínky, kdy lze dvourozměrný čtverec v prostoru zdeformovat do jednoho bodu.
Dále je možné v práci nalézt lepší výsledky na třídě Orliczových prostorů. Problém otevřenosti a diskrétnosti je dále možné zkoumat na širší třídě zobrazení s konečnou q-distorzí, která je fundamentální při zkoumání Sobolevovské regularity složeného zobrazení.

Předběžná náplň práce v anglickém jazyce

We say that a mapping f from the euclidean space R^n to R^n has finite outer (respectively inner) distortion if its jacobian is nonnegative and moreover |Df| vanishes (respectively |adj Df| vanishes) almost everywhere in the zero set of the jacobian.

The motivation for study of mappings of finite distortion stems partially from nonlinear elasticity.
It seems that some related nonlinear classes of mappings might serve as classes of deformations.
The main goal of the theory of mappings of finite distortion is to look for weak assumptions for
continuity, differentiability, invertibility and for the property that f maps sets of measure zero to sets of measure zero.

The aim of this thesis is to study openess and discreteness for mappings of finite distortion, i.e. the problem of the invertibility of this map. One of the aims should be to write down the self-contained proof of the known results. Futher it is possible to extend them to the better result in the class Orlicz spaces. The problem of openess and discreteness can be studied also for the more general class of mappings of finite q-distortion which is crutial in the study of Sobolev regularity of the composition of functions.