Prostory funkcí pro renormalizované řešení rovnice vedení tepla

• Název práce v češtině: Prostory funkcí pro renormalizované řešení rovnice vedení tepla
• Název v anglickém jazyce: Functions spaces for renormalized solutions to heat equation.
• Akademický rok vypsání: 2011/2012
• Typ práce: bakalářská práce
• Jazyk práce: čeština
• Ústav: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
• Vedoucí / školitel: doc. Mgr. Petr Kaplický, Ph.D.

Zásady pro vypracování

Cílem práce je získat pomocí standardních metod nové výsledky o nových množinách funkcí. Důraz bude kladen na uspořádání, srozumitelnost a přesnost prezentace.

Neočekávají se podstatné nové výsledky.

Seznam odborné literatury

Pokud vím, téma zatím není zaznamenáno v knize. Informace bude potřeba vyhledat v odborných matematických článcích nebo vymyslet.

Předběžná náplň práce

Budeme studovat množiny funkcí, které se přirozeně objeví při studiu rovnice vedení tepla s málo regulární pravou stranou.

Cílem práce bude odpovědět na následující otázky. Jsou dané prostory lineární? Lze na nich zavést lokálně konvexní topologie, norma? Jsou poté úplné? Jsou v nich hladké funkce s kompaktním nosičem hladké? Platí podobné věty o vnoření jako pro Sobolevovy prostory?

Předběžná náplň práce v anglickém jazyce

The sets of functions naturally appearing in studies of the heat equation with irregular right hand side will be studied.


Let $\Omega\subset\eR^d$ be a bounded domain with smooth boundary. We denote
$$
M(\Omega)=\{u:\Omega\to\eR: u \mbox{measurable}\}
$$
and for all $k>0$ we define
$$
\forall s\in \eR: T_k(s)=max(-k,min(k,s)).
$$
Let us define for $\alpha,\beta\in \eR$, $p,q\geq1$ the set
$$
X^{\alpha,\beta}_{p,q}(\Omega)=\{u\in M(\Omega):\exists C>0: \int_\Omega |T_k(u)|^p\leq Ck^\alpha, \int_\Omega |\nabla T_k(u)|^q\leq Ck^\beta\}.
$$

We will study the following questions:
\begin{itemize}
\item Is $X^{\alpha,\beta}_{p,q}(\Omega)$ linear space?
\item Can we introduce locally convex topology, norm on it?
\item Can we make it a Banach space?
\item Are the smooth functions dense in $X^{\alpha,\beta}_{p,q}(\Omega)$?
\item Does the embeddings theorem holds?
\end{itemize}