Student nastuduje některé pojmy z diferenciální geometrie, spektrální analýzy a teorie reprezentací Lieových grup, jako je např. fíbrovaný bandl, hlavní bandl, asociovaný bandl, Segal-Shaleova-Weilova reprezentace, Casimirův operator, homogenní prostor, Frobeniova věta o reciprocitě, spektrum, bodové spektrum, omezený operátor ad.
Nastuduje metodu výpočtu spektra "invariantních" diferenciálních operátorů na homogenních prostorech pomocí Casimirových operátorů. Tuto metodu aplikuje na případ sféry S^2 a v příp. tzv. komplexifikovaného kompaktifikovaného Minkowského prostoru, chápaného ale jako symplektický homogenní prostor.
Seznam odborné literatury
K. Habermann, L. Habermann, Introduction to symplectic Dirac operators, Springer 2006.
S. Rudnick, Symplektische Dirac-Operatoren auf symmetrischen Räumen, diplomová práce, Univ. Greifswald, 2005.
E. Wienberg, Das Spektrum des Dirac-Operators auf der Moufang-Ebene, diplomová práce, Univ. Hamburg, 2005.
Předběžná náplň práce
Spektrální vlastnosti invariantních diferenciálních operátorů často silně souvisí s podkladovou geometrickou a topologickou strukturou variety. Toto je velmi dobře známo např. v případě komapktních Riemannových variet a deRhamova Laplaceova operátoru působícím na vnějších diferenciálních formách. V diplomové práci se student bude zabývat obdobnými otázkami souvislosti, avšak v případě bandlů s nekonečně dimenzionálními fíbry nad symplektickými varietami.
Předběžná náplň práce v anglickém jazyce
Spectral properties of invariant differential operators are often related to invariants of the underlying geometric and topological structure. This is well known, e.g., for compact Riemannian manifolds and the Rimannian Laplacian acting on exterior differential forms. In the studied case, we will be interested in similar questions for bundles with infinite dimensional fibers over symplectic manifolds.
