Je-li R okruh (asociativní, ale ne nutně s jednotkou) a I (levý nebo pravý ideál), řekneme, že I je nil, pokud každý prvek I je v nějaké mocnině nulový. Problém formulovaný G. Koethem již v článku z roku 1930 je následující: Je-li levý ideál I nil, je nutně I obsažen v oboustranném ideálu J, který je rovněž nil? Nedávno sice I. Sakhaev zveřejnil na konferenci v Benátkách protipříklad, ale s použitím současných výsledků F. Cedó není těžké nahlédnout, že tento protipříklad fungovat nemůže. Problém by proto měl být stále otevřený.
Práce by měla probrat vztah Koetheho hypotézy k dalším problémům z teorie okruhů a přiblížit některé dosud známé výsledky. Ideální by bylo pochopitelně tento problém vyřešit, ale to může počkat až do diplomové práce.
Seznam odborné literatury
[1] Jan Krempa: Logical connections between some open problems concerning rings, Fundamenta Mathematicae, LXXVI (1972), 121 - 130
[2] Agata Smoktunowicz: Polynomial rings over nil rings need not to be nil, J. Algebra 233, 427-436 (2000)
Předběžná náplň práce
Práce by měla probrat vztah Koetheho hypotézy k dalším problémům z teorie okruhů a přiblížit některé dosud známé výsledky. Dále je možné studovat podrobněji protipříklad navržený I. Sakhaevem a zjistit, zda je možné tento protipříklad opravit tak, aby fungoval.
Předběžná náplň práce v anglickém jazyce
This work should explain the relation of Koethe's problem to other open problems in ring theory and describe some known results in this direction. Further, the counter-example by Sakhaev could be studied to decide whether it is possible to make it correct.
- zadáno a potvrzeno stud. odd.