R-projectivity

• Název práce v češtině: R-projektivita
• Název v anglickém jazyce: R-projectivity
• Klíčová slova: projektivní modul|množinově-teoretická homologická algebra|semiartinovský okruh|princip slabého diamantu
• Klíčová slova anglicky: projective module|set-theoretic homological algebra|semiartinian ring|Weak Diamond Principle
• Akademický rok vypsání: 2021/2022
• Typ práce: diplomová práce
• Jazyk práce: angličtina
• Ústav: Katedra algebry (32-KA)
• Vedoucí / školitel: prof. RNDr. Jan Trlifaj, CSc., DSc.
• Řešitel: skrytý - zadáno a potvrzeno stud. odd.
• Datum přihlášení: 05.08.2021
• Datum zadání: 05.08.2021
• Datum potvrzení stud. oddělením: 25.10.2021
• Datum a čas obhajoby: 14.06.2022 09:00
• Datum odevzdání elektronické podoby: 05.05.2022
• Datum odevzdání tištěné podoby: 09.05.2022
• Datum proběhlé obhajoby: 14.06.2022
• Oponenti: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D.

Zásady pro vypracování

R-projektivita je duálním pojmem k R-injektivitě, a ta je podle klasického Baerova kritéria klíčová pro testování injektivity modulů. Je-li okruh R perfektní, pak platí duální Baerovo kritérium (DBC). Pro neperfektní okruhy je ale situace složitější: DBC sice vždy platí pro konečně generované moduly (viz. např. [1]), ale jeho neplatnost pro nekonečně generované moduly je konzistentní se ZFC ([2]). Pro řadu neperfektních okruhů lze neplatnost DBC dokázat přímo v ZFC, algebraickými metodami [3]. V článcích [4] a [5] byly nicméně nalezeny příklady komutativních neperfektních okruhů, pro které je i platnost DBC pro všechny moduly konzistentní se ZFC (a tedy je nezávislá na ZFC).

Tématem práce bude hledání dělicí čáry ve třídě neperfektních okruhů mezi těmi, pro které je neplatnost DBC dokazatelná v ZFC, a těmi, pro které je nezávislá na ZFC, zejména pro komutativní okruhy. Dalším tématem je možnost zeslabení používaných množinově-teoretických předpokladů (např. použitím matného diamantu na místo Jensenových funkcí).


R-projectivity is the dual notion to R-injectivity. By Baer's Criterion, the latter is the key for testing injectivity of modules. If R is perfect, then a dual version of Baer's Criterion (DBC) holds true. The problem is more complex for non-perfect rings: though DBC holds for all finitely generated modules (see e.g. [1]), it is consistent with ZFC that DBC always fails for some infinitely generated modules [2]. For many non-perfect rings, the failure of DBC is even provable in ZFC by algebraic methods [3]. However, in [4] and [5], examples of a commutative non-perfect ring were constructed such that DBC for all modules is also consistent with ZFC (and hence it is independent of ZFC).

The topic of the thesis consists in searching for a border line within the class of all non-perfect rings, between those non-perfect rings for which DBC fails in ZFC, and those, for which it is independent of ZFC, with a focus on commutative rings. Another topic concerns the possibility of using weaker set-theoretic assumptions (such as the Weak Diamond instead of Jensen's functions).

Seznam odborné literatury

[1] F.W.Anderson, K.R.Fuller: ,,Rings and Categories of Modules", GTM 13, 2nd ed., Springer, New York 1992.
[2] J.Trlifaj: ,,Whitehead test modules", Trans. Amer. Math. Soc. 348(1996), 1521-1554.
[3] H.Alhilali, Y.Ibrahim, G.Puninski, M.Yousif: ,,When R is a testing module for projectivity?", J. Algebra 484(2017), 198-206.
[4] J.Trlifaj: ,,Faith's problem on R-projectivity is undecidable", Proc. Amer. Math. Soc. 147(2019), 497-504.
[5] J.Trlifaj: ,,The Dual Baer Criterion for non-perfect rings'', Forum Mathematicum 32(2020), 663-672.

Předběžná náplň práce

Tématem práce jsou meze platnosti duálního Baerova kritéria při testování projektivity modulů nad neperfektní okruhy, zejména ve speciálním případě komutativních okruhů. Při práci na tématu se student seznámí s metodami a výsledky moderní množinově teoretické homologické algebry.

Předběžná náplň práce v anglickém jazyce

The topic of the thesis are limits for validity of the Dual Baer Criterion for testing projectivity of modules over non-perfect rings, notably in the particular setting of commutative rings. While working on this topic, the student will learn methods and results of contemporary set-theoretic homological algebra.