Surfaces related to sigma models

• Název práce v češtině: Povrchy asociované se sigma modely
• Název v anglickém jazyce: Surfaces related to sigma models
• Akademický rok vypsání: 2006/2007
• Typ práce: bakalářská práce
• Jazyk práce: angličtina
• Ústav: Matematický ústav UK (32-MUUK)
• Vedoucí / školitel: doc. Ing. Libor Šnobl, Ph.D.
• Řešitel: skrytý - zadáno a potvrzeno stud. odd.
• Datum přihlášení: 11.11.2006
• Datum zadání: 11.11.2006
• Datum a čas obhajoby: 10.09.2007 00:00
• Datum odevzdání elektronické podoby: 10.09.2007
• Datum proběhlé obhajoby: 10.09.2007
• Oponenti: doc. RNDr. Oldřich John, CSc.

Zásady pro vypracování

1. CPN and Grassmannian sigma models

2. Elementary review of differential geometry of surfaces

3. Surfaces associated to Grassmannian sigma models

4. Symmetry reduction of the CP1 sigma model

5. Solutions of the reduced equations and the corresponding solutions of the CP1 sigma model

6. Associated surfaces and their properties

7. Relation between constant Gaussian curvature surfaces and the sine-Gordon equation

8. Solutions of the s-G eq. generated by the previously constructed solutions of the CP1 sigma model, their comparison with the known solutions of the s-G eq.

9. Possible generalizations to CPN and Grassmannian sigma models

Seznam odborné literatury

[1] A. M. Grundland and L. Šnobl, J. Geom. Phys. 56, 512-531 (2006), [math.DG/0405513].

[2] A. M. Grundland and L. Šnobl, Surfaces in su(N) algebra via CP^{N-1} sigma models on Minkowski space, Proceedings of XI International Conference on Symmetry Methods in Physics, edited by C. Burdik, (Dubna: JINR, 2004).

[3] A. M. Grundland and L. Šnobl, J. Math. Phys. 46, 083508 (2005),[math.DG/0501200].
[4] A. M. Grundland, L. Šnobl, Studies in Applied Mathematics 117, 335-352 (2006).
[5] A. M. Grundland, P. Winternitz and W. J. Zakrzewski, J. Math. Phys. 37, 1501-1520 (1996).
[6] C. Rogers, W.K. Schief, Backlund and Darboux Transformations, (Cambridge: CUP, 2002).

[7] L.P. Eisenhart, A Treatise on the Differential Geometry of Curves and Surfaces,
(Boston: Ginn and Company,1909).

[8] A. M. Grundland, A. Strasburger, W.J. Zakrzewski, J.Phys. A39 (2006) 9187-9214, [math.DG/0502482]

Doporučené předměty:

Úvod do teorie Lieových grup (ALG018), Kvantová teorie pole I (JSF068).

Předběžná náplň práce

Cílem práce je studium vlastností povrchů asociovaných s CP1 sigma modely, založené na analýze konkrétních příkladů. Řešení rovnice CP1 sigma modelu se hledá metodou redukce diferenciální rovnice dle symetrií. Po nalezení řešení CP1 sigma modelu se určí parametrické rovnice plochy, spočítá se její I. a II. fundamentální forma a její střední křivost. Protože takto konstruované povrchy mají zápornou konstantní Gaussovu křivost, lze dále tímto způsobem k řešení CP1 sigma modelu přiřadit též odpovídající řešení sine-Gordonovy rovnice. Dalším úkolem práce je diskuse zobecnění těchto konstrukcí na CPN a obecněji na Grassmannovské sigma modely a jejich případný vztah k integrabilním rovnicím. Bakalářská práce bude vypracována v angličtině.

Předběžná náplň práce v anglickém jazyce

The aim of the work is to study properties of surfaces related to CP1 sigma models, based on analysis of specific examples. Solutions of equations of CP1 sigma models can be found using the method of reduction of differential equations with respect to a symmetry. If a solution is found, it is posible to find then a parametrization of the surface, its first and second fundamental form and its mean curvature. Surfaces constructed in such a way have a negative constant Gauss curvature, hence it is possible to associate with them a corresponding solution of the sin-Gordon equations. The next aim of the work is to generalize these constructions to CPN and, more generally, to Grassmanian sigma models and to study their possible relations to integrable systems.