Aproximace singulárních funkcí v metodě konečných prvků
Název práce v češtině:
Aproximace singulárních funkcí v metodě konečných prvků
Název v anglickém jazyce:
Approximations of singular functions in the finite element method
Klíčová slova:
metoda konečných prvků, nespojitá Galerkinova metoda, funkce se singulárním chováním, Sobolev-Slobodětského prostory, Sobolevovy prostory s vahou, po částech polynomiální aproximace, odhady chyb
Klíčová slova anglicky:
finite element method, discontinuous Galerkin method, functions with singular behaviour, Sobolev-Slobodetskii spaces, weighted Sobolev spaces, piecewise polynomial approximations, error estimates
Práce se bude zabývat po částech polynomiálními aproximacemi funkcí, které mají v některých bodech svého definičního oboru (obvykle na hranici) singularity. Chování těchto funkcí je charakterizováno tím, že to jsou prvky Sobolev-Slobodětského prostorů a Sobolevových prostorů s vahou. Cílem bude analyzovat chování chyb, kterých se dopustíme, když jsou takové funkce aproximovány pomocí konečně prvkové po částech polynomiální aproximace. Hlavní důraz bude kladen na použití v nespojité Galerkinově metodě. Získané odhady chyb budou testovány pomocí numerických experimentů.
Seznam odborné literatury
V. Dolejší, M. Feistauer: Discontinuous Galerkin Method - Analysis and Applications to Compressible Flow. Springer, 2015.
M. Feistauer, A.-M. Saendig: Graded mesh refinement and error estimates of higher order for DGFE solutions of elliptic boundary value problems. Numer. Methods Partial Differential Eq. 28 (2012), 1124-1151.
M. Feistauer: On the finite element approximation of functions with noninteger derivatives. Numer. Funct. Anal. and Optimiz. 10 (1989), 91-110.
P.G. Ciarlet: The Finite Element Method for Elliptic Problems. North-Holland, Amsterdam, 1979.
Předběžná náplň práce
V teorii odhadů chyb v metodě konečných prvků se většinou předpokládá, že přesné řešení uvažované parciální diferenciální rovnice je dostatečně regulární. Tento předpoklad však v praxi není vždy splněn. Přesné řešení má singulární chování, např. v okolí hraničních bodů, kde má hranice rohy. V tomto případě není možné použít standardní odhady chyb uvedené např. v Ciarletově monografii. Přesné řešení je prvkem Sobolev-Slobodětského prostoru nebo Sobolevových prostorů s vahou, a je třeba se zabývat aproximacemi funkcí v těchto prostorech. Hlavním cílem zde bude analýza odhadů chyb polynomiálních aproximací singulárních funkcí a numerická validace těchto odhadů.
Předběžná náplň práce v anglickém jazyce
In the theory of error estimates in the finite element method, we usually use the assumption that the exact solution of the solved boundary value problem is sufficiently regular. However, in many cases this is not satisfied. The exact solution may have singular behaviour in a neighbourhood of boundary corners and therefore, it is not possible to use the teory contained in Ciarlet's monograph. The exact solution is an element of the Sobolev-Slobodetskii or weighted Sobolev spaces and it is necessary to be concerned with approximations of functions from these spaces. Our main goal will be the derivation of error estimates for finite element approximations of singular functions and numerical validation of these estimates.
