Řešení difuzní rovnice ve vyšších dimenzích pomocí strojového učení
| Název práce v češtině: | Řešení difuzní rovnice ve vyšších dimenzích pomocí strojového učení |
|---|---|
| Název v anglickém jazyce: | Solving the diffusion equation in higher dimensions using machine learning |
| Klíčová slova: | difuzní rovnice|strojové učení|dimensionalita|numerické metody |
| Klíčová slova anglicky: | difuzní rovnice|strojové učení|dimensionalita|numerické metody |
| Akademický rok vypsání: | 2024/2025 |
| Typ práce: | diplomová práce |
| Jazyk práce: | |
| Ústav: | Matematický ústav UK (32-MUUK) |
| Vedoucí / školitel: | doc. RNDr. Michal Pavelka, Ph.D. |
| Řešitel: | skrytý - zadáno a potvrzeno stud. odd. |
| Datum přihlášení: | 14.05.2025 |
| Datum zadání: | 26.06.2025 |
| Datum potvrzení stud. oddělením: | 26.06.2025 |
| Zásady pro vypracování |
| Cílem práce je prozkoumat numerické metody na bázi strojového učení pro řešení difuzní rovnice ve vyšších dimenzích. Práce by měla obsahovat tyto kroky:
1) Laplaceova rovnice a difuzní rovnice v externím potenciálu: a) Rešerše numerických metod pro řešení daných rovnic (analytiké výsledky, konečné diference, konečné objemy, Fourierova transformace) a jejich závislosti na dimenzi b) Formulace numerických metod na bázi strojového učení (například variační řešení v rámci balíku PyTorch a Physics Informed Neural Networks [1]) 2) Aplikace numerických metod v problémech spojených s chemickou kinetikou a) Ověření metod na nízkodimenzionálních problémech b) Pokus o aplikaci ve vyšších dimenzích |
| Seznam odborné literatury |
| [1] Raissi, Maziar; Perdikaris, Paris; Karniadakis, George Em (2017-11-28). "Physics Informed Deep Learning (Part I): Data-driven Solutions of Nonlinear Partial Differential Equations". arXiv:1711.10561
[2] Bellman, Richard Ernest; Rand Corporation (1957). Dynamic programming. Princeton University Press. p. ix. ISBN 978-0-691-07951-6. |
| Předběžná náplň práce v anglickém jazyce |
| Laplace and diffusion equations are important in physics and computational chemistry (Fokker-Planck equation, stationary Schrödinger equation). In higher dimensions, however, they become hard to solve numerically due to the curse of dimensionality [2]. Machine learning might be a way to circumvent these limitations, and it is the purpose of this thesis to explore such possibilities. |