Maximální regularita a zlá lambda nerovnost
| Název práce v češtině: | Maximální regularita a zlá lambda nerovnost |
|---|---|
| Název v anglickém jazyce: | Maximal regularity and bad lambda inequality |
| Klíčová slova: | Lp prostory|good lambda nerovnost|regularity|generalized Stokes problem |
| Klíčová slova anglicky: | Lp spaces|good lambda inequality|regularity|generalized Stokes problem |
| Akademický rok vypsání: | 2024/2025 |
| Typ práce: | bakalářská práce |
| Jazyk práce: | |
| Ústav: | Katedra matematické analýzy (32-KMA) |
| Vedoucí / školitel: | doc. Mgr. Petr Kaplický, Ph.D. |
| Řešitel: |
| Zásady pro vypracování |
| Cílem práce je přehledně zpracovat danou problematiku na základě navržené literatury. Důraz bude kladen na uspořádání, srozumitelnost a přesnost prezentace.
|
| Seznam odborné literatury |
| 1) L.A. Caffarelli, I. Peral: On W^{1,p} estimates for elliptic equations in divergence form. Comm. Pure Appl. Math. 51 (1998), no. 1, 1–21.
2) J. Kristensen, G. Mingione: The singular set of minima of integral functionals. Arch. Ration. Mech. Anal. 180 (2006), no. 3, 331–398. 3) P. Kaplický: On Lq estimates of planar flows up to boundary, Contemporary Mathematics 666 (2016), 253-264,doi: 10.1090/conm/666 |
| Předběžná náplň práce |
| Hodná lambda nerovnost je jedním z možných přístupů k důkazu maximální regularity pro řešení Laplaceovy rovnice v prostorech L^p. Přesněji jde o tvrzení, že pokud jisté p>1 a kouli B platí \Delta u\in L^p(2B), pak \nabla^2 u\in L^p(B). Zpracováno je to například v článcích [1] a [2].
Základním modelem mechaniky tekutin je stacionární Stokesovův systém rovnic, který popisuje pomalé ustálené proudění v předepsané oblasti. Laplaceově rovnici je velice podobný. Dobrá lambda nerovnost lze použít na regularitu řešení uvnitř studované oblasti. Pokud ale Stokesův systém trochu zobecníme tak, aby popisoval například tok magmatu, ledovců nebo husté polévky, a zabýváme se regularitou řešení až do hranice, nelze dobrá lambda nerovnost použít. Pravděpodobně lze ale odvodit její variantu založenou na výsledku v [3], zde prozatím označenou jako zlá lambda nerovnost. Cílem je rozhodnout, jestli zlá lambda nerovnost umožní ukázat alespoň nějakou regularitu řešení Stokesova problému až do hranice. |