Metoda sdružených gradientů pro diferenciální operátory

• Název práce v češtině: Metoda sdružených gradientů pro diferenciální operátory
• Název v anglickém jazyce: The conjugate gradient method for differential operators
• Klíčová slova: Metoda sdružených gradientů|Krylovovy podprostory|diferenciální operátory|operátorové předpodmínění|Chebfun
• Klíčová slova anglicky: Conjugate gradient method|Krylov subspaces|differential operators|operator preconditioning|Chebfun
• Akademický rok vypsání: 2023/2024
• Typ práce: diplomová práce
• Ústav: Katedra numerické matematiky (32-KNM)
• Vedoucí / školitel: doc. RNDr. Petr Tichý, Ph.D.

Zásady pro vypracování

V roce 2015 byl v knize [3] představen teoretický koncept metody sdružených gradientů (CG) v Hilbertových prostorech, který má v sobě potenciál aplikovat CG přímo na řešení obyčejných a parciální diferenciálních rovnic ve smyslu paradigmatu „vyřeš a poté diskretizuj“. Demonstraci tohoto přístupu lze nalézt například v článku [2]. Přístupy v [2] a [3] zobecňující CG pro diferenciální operátory jsou si blízké, avšak jednoznačná korespondence mezi nimi není na první pohled zřejmá.

Cíle a postup této práce jsou následující:
1. popsat a shrnout teorii CG v Hilbertových prostorech podle [3],
2. popsat a shrnout zobecnění CG pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic s okrajovými podmínkami podle článku [2],
3. studovat teoretické souvislosti mezi výsledky článku [2] a obecnou teorií formulovanou v [3],
4. provést numerické experimenty v Matlabu pomocí toolboxu Chebfun umožňujícího počítání s funkcemi a operátory.

Seznam odborné literatury

[1] J. W. Daniel, The conjugate gradient method for linear and nonlinear operator equations, SIAM J. Numer. Anal., 1967, 4, 10-26.

[2] M. A. Gilles and A. Townsend, Continuous analogues of Krylov subspace methods for differential operators, SIAM J. Numer. Anal., 2019, 57, 899-924.

[3] J. Málek and Z. Strakoš, Preconditioning and the conjugate gradient method in the context of solving PDEs, SIAM Spotlights 1, Philadelphia, PA, 2015, x+104.

[4] L. N. Trefethen, Approximation theory and approximation practice, SIAM, Philadelphia, PA, 2013, viii+305.

[5] L. N. Trefethen, Á. Birkisson, and T. A. Driscoll, Exploring ODEs, SIAM, Philadelphia, PA, 2018, vii+335.

Předběžná náplň práce

V roce 2015 byl v knize Prof. Málka a Prof. Strakoše představen teoretický koncept metody sdružených gradientů (CG) v Hilbertových prostorech, který má v sobě potenciál aplikovat CG přímo na řešení obyčejných a parciální diferenciálních rovnic ve smyslu paradigmatu „vyřeš a poté diskretizuj“. Demonstraci tohoto přístupu lze nalézt například v článku Gillese a Townsenda z roku 2019. Přístupy v uvedeném článku a knize zobecňující CG pro diferenciální operátory jsou si blízké, avšak jednoznačná korespondence mezi nimi není na první pohled zřejmá. Cílem této práce je popsat a shrnout teorii CG v Hilbertových prostorech, studovat teoretické souvislosti mezi výsledky zmiňovaného článku a knihy, a provést numerické experimenty v Matlabu pomocí toolboxu Chebfun umožňujícího počítání s funkcemi a operátory.

Předběžná náplň práce v anglickém jazyce

In 2015, Prof. Malek and Prof. Strakoš introduced the theoretical concept of the conjugate gradient (CG) method in Hilbert spaces, which has the potential to apply CG directly to the solution of ordinary and partial differential equations in the sense of the "solve-then-discretize" paradigm. A demonstration of this approach can be found, for example, in a 2019 paper by Gilles and Townsend. The approaches in this paper and in the above-mentioned book generalizing CG for differential operators are close, but the clear correspondence between them is not obvious at first glance. The aim of this thesis is to describe and summarize the theory of CG in Hilbert spaces, to study the theoretical connections between the results of the mentioned paper and the book, and to perform numerical experiments in Matlab using the Chebfun toolbox, which allows computation with functions and operators.