Student se seznámí se základy teorie aproximací a podrobněji nastuduje pasáž o Haarově podmínce. Hlavní náplní práce bude zpracování materiálu o Haarově podmínce do podoby uceleného textu a řešení několika zadaných problémů, jako je charakterizace Haarovy podmínky a určení, zda jsou jisté konkrétní systémy Haarovy, s případným zaměřením na některé specifické aplikace.
Seznam odborné literatury
R. A. DeVore and G. G. Lorentz. Constructive approximation. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 303. Springer-Verlag, Berlin, 1993. x+449 pp.
E. W. Cheney. Introduction to approximation theory. McGraw-Hill Book Co., New York-Toronto-London, 1966. xii+259 pp.
G. Meinardus. Approximation of functions: Theory and numerical methods. Expanded translation of the German edition. Translated by Larry L. Schumaker. Springer Tracts in Natural Philosophy, Vol. 13. Springer-Verlag New York, Inc., New York, 1967. viii+198 pp.
Předběžná náplň práce
Teorie aproximací umožňuje převést komplikované objekty na objekty takové, které jsou v určitém smyslu blízké a s nimiž lze snadněji pracovat. Standardní a v aplikacích široce využívanou metodou je aproximace spojité funkce pomocí polynomu. Rozšířením této metody na další typy funkcí získáváme aproximaci pomocí zobecněných polynomů. Klasický Haarův výsledek z roku 1917 uvádí, že existence a jednoznačnost nejlepší aproximace spojité funkce na kompaktu pomocí zobecněných polynomů je ekvivalentní splnění Haarovy podmínky. Systémy, které Haarovu podmínku splňují, jsou tak pro teorii i aplikace velmi důležité. Náplní práce bude studium této podmínky a systémů funkcí, které ji splňují.
Předběžná náplň práce v anglickém jazyce
Approximation theory enables us to replace complicated objects with simpler ones that are, in a certain sense, close to the original ones, and, at the same time, are easier to work with. One of the standard and widely applicable methods is based on approximation using polynomials. Generalizing this method to other types of functions yields an approximation using generalized polynomials. The classical result by Haar from 1917 states that the existence and uniqueness of the best approximation of a continuous function defined on a compact set using generalized polynomials is equivalent to the Haar condition. Systems that satisfy the Haar condition are, therefore, crucial for both the approximation theory and its applications. The thesis will focus on the study of this condition and the systems of functions that satisfy it.
